Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении ременной верно неравенство: a) 7x2 - 10x + 7 > 0; б) -642 + 11y - 10 < 0;

Разбираем задачу по одной переменной и для реальных чисел. Цель: показать, что для каждого из неравенств верно либо для всех значений переменной, либо указать условия, при которых оно верно. а) Неравенство: 7x^2 - 10x + 7 > 0 для любого x Способ 1. Поиск дискриминанта. - Пусть f(x) = 7x^2 - 10x + 7. Здесь a = 7 > 0. - Дискриминант Δ = (-10)^2 - 4·7·7 = 100 - 196 = -96 < 0. - Так как парабола открывается вверх (a > 0) и дискриминант отрицателен, график не пересекает ось x, следовательно f(x) > 0 для всех действительных x. Способ 2. Сведение к полному квадрату (для ясности). - 7x^2 - 10x + 7 = 7[x^2 - (10/7)x] + 7 - = 7[(x - 5/7)^2 - (5/7)^2] + 7 - = 7(x - 5/7)^2 - 7·25/49 + 7 - = 7(x - 5/7)^2 + 24/7 > 0. Вывод: неравенство 7x^2 - 10x + 7 > 0 истинно для любого реального x. б) Неравенство: -642 + 11y - 10 < 0 Сначала приведём к простому виду. - -642 + 11y - 10 = 11y - 652. - Неравенство: 11y - 652 < 0 ⇔ 11y < 652 ⇔ y < 652/11. Значит: - Неравенство верно не для всех значений y, а только для тех, что удовлетворяют y < 652/11. - Приближённо 652/11 ≈ 59.2727. Пример: y = 100 не удовлетворяет условию, поскольку 11·100 - 652 = 448 > 0. Итог: - а) 7x^2 - 10x + 7 > 0 истинно для любого x. - б) -642 + 11y - 10 < 0 эквивалентно y < 652/11; не выполняется для всех y (например, для y = 100 не выполняется).