Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении ременной верно неравенство: a) 7x2 - 10x + 7 > 0; б) -642 + 11y - 10 < 0;

Разбираем задачу по одной переменной и для реальных чисел.

Цель: показать, что для каждого из неравенств верно либо для всех значений переменной, либо указать условия, при которых оно верно.

а) Неравенство: 7x^2 - 10x + 7 > 0 для любого x

Способ 1. Поиск дискриминанта.

• Пусть f(x) = 7x^2 - 10x + 7. Здесь a = 7 > 0.
• Дискриминант Δ = (-10)^2 - 4·7·7 = 100 - 196 = -96 < 0.
• Так как парабола открывается вверх (a > 0) и дискриминант отрицателен, график не пересекает ось x, следовательно f(x) > 0 для всех действительных x.

Способ 2. Сведение к полному квадрату (для ясности).

• 7x^2 - 10x + 7 = 7[x^2 - (10/7)x] + 7
• = 7[(x - 5/7)^2 - (5/7)^2] + 7
• = 7(x - 5/7)^2 - 7·25/49 + 7
• = 7(x - 5/7)^2 + 24/7 > 0.

Вывод: неравенство 7x^2 - 10x + 7 > 0 истинно для любого реального x.

б) Неравенство: -642 + 11y - 10 < 0

Сначала приведём к простому виду.

• -642 + 11y - 10 = 11y - 652.
• Неравенство: 11y - 652 < 0 ⇔ 11y < 652 ⇔ y < 652/11.

Значит:

• Неравенство верно не для всех значений y, а только для тех, что удовлетворяют y < 652/11.
• Приближённо 652/11 ≈ 59.2727.

Пример: y = 100 не удовлетворяет условию, поскольку 11·100 - 652 = 448 > 0.

Итог:

• а) 7x^2 - 10x + 7 > 0 истинно для любого x.
• б) -642 + 11y - 10 < 0 эквивалентно y < 652/11; не выполняется для всех y (например, для y = 100 не выполняется).