105 номер реши

105. Начертить прямую a и отметить точки A и B, лежащие по разные стороны от прямой a. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой a.

Решение (пошагово, с использованием простого циркуль-ладжик):

1. Постройте через точку A перпендикуляр к прямой a.

• Постройте окружность с центром A так, чтобы она пересекла прямую a в две точки X и Y.
• Найдите середину XY (пункт M) стандартным способом: построите диагональ, или используя две окружности с центрами X и Y и радиусом, большем чем XY/2, пересечения дают прямую середины XY.
• Соедините A с M. Прямая AM является перпендикуляром к a (AM — перпендикуляр к XY, а XY лежит на a).

2. Постройте через точку B перпендикуляр к прямой a аналогично.

• Постройте окружность с центром B пересекающую a в X' и Y'.
• Найдите середину X'Y' — M'.
• Соедините B с M'. Прямая BM' перпендикулярна a.

3. Итог

• Через A проведена прямая, перпендикулярная a.
• Через B проведена прямая, перпендикулярная a.
• Эти две прямые обе перпендикулярны a (и, следовательно, параллельны между собой), минуя знак, что A и B лежат по разные стороны от a.

Краткое объяснение корректности:

• Из окружности с центром A точки X и Y на a равны AX = AY, значит A лежит на перпендикуляре к a, проходящем через середину XY. Эта линия AM перпендикулярна a.
• Аналогично для точки B: BM' — перпендикулярна a.
• По свойству прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.

Замечание (для альтернативной проверки): если a — горизонтальная прямой, то искомые перпендикуляры через A и B будут вертикальными линиями x = x_A и x = x_B соответственно.