Плот и моторная лодка одновременно начали движение по течению реки от пристани А. Через время `T=1` ч лодка повернула обратно и встретилась с плотом у пристани В. Расстояние между…

Ниже подробное решение задачи.

Дано:

• скорость течения V (км/ч) — найти
• скорость лодки относительно воды u (км/ч), постоянная
• за время T = 1 ч плот и лодка стартуют из пристани А по течению
• через 1 ч лодка поворачивает обратно и они встречаются у пристани В
• расстояние между пристанями A и B равно S = 4 км

Обозначения и рассуждения:

• За 1 час плот проплывает расстояние V км, поэтому к моменту разворота плот находится на координате V (в км от А).
• За 1 час лодка движется по течению со скоростью u+V, поэтому к моменту разворота её координата равна u+V км.
• После разворота лодка идёт против течения со скоростью u−V (при этом идёт обратно к положению, ближе к А), а плот продолжает двигаться по течению со скоростью V.
• Пусть после разворота прошло t2 часов до встречи. Тогда общее время движения равно t_total = 1 + t2.
• Так как встреча происходит в точке B, которая находится в 4 км от А, имеем координаты встречи равными 4.

Система уравнений:

1. Для плот: координата встречи = V(1 + t2) = 4 откуда t2 = 4/V − 1.

2. Для лодки: она после разворота начинает в точке (u+V) и идёт обратно на расстояние (u−V)·t2, так что координата встречи b_final = (u+V) − (u−V)·t2 = 4.

Подставим t2 из (1) в (2): (u+V) − (u−V)·(4/V − 1) = 4.

Упростим: (u+V) − (u−V)·(4/V) + (u−V) = 4 2u − (u−V)·(4/V) = 4.

Умножим на V: 2uV − 4(u−V) = 4V 2uV − 4u + 4V = 4V 2uV − 4u = 0 2u(V − 2) = 0.

Так как скорость лодки относительно воды не нулевая, получаем V − 2 = 0, следовательно V = 2 км/ч.

Проверка:

• Если V = 2, то t2 = 4/2 − 1 = 1 ч.
• За первый час плот прошёл 2 км. Лодка прошла 1 час по течению: на расстоянии u+2 км.
• Затем лодка идёт против течения 1 ч на расстояние (u−2) км, встреча в точке: (u+2) − (u−2) = 4 км, что верно.
• Весь путь плот прошёл 2 часа, лодка — 2 часа, что согласуется с данными условиями.

Ответ: 2

Примечание: значение скорости течения оказалось независимым от скорости лодки относительно воды u (при условии, что u > V).