Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основание равно 4 см, а высота равна 2 см. Найдите площадь трапеции.

Идея решения:

• Пусть основания трапеции параллельны горизонтально: верхнее основание b, нижнее основание a (а > b для разрежения).
• Высота h = 2 см.
• В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому горизонтальный отступ d между концами оснований по каждому боку одинаков: a − b = 2d.
• Угол между боковой стороной и основанием равен 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h и горизонтальным отступом d: tan(45°) = h/d. Значит d = h = 2.

Из этого:

• a − b = 2d = 4.

Теперь учтем данное в условии основание длиной 4 см:

• Если a = 4 (длиннее основание), то b = a − 4 = 0 — получаем треугольник, а не трапецию. Значит такой вариант исключаем.
• Значит данное основание 4 см относится к меньшему основанию b = 4. Тогда другое основание a = b + 4 = 8 см.

Площадь трапеции: S = (a + b)/2 · h = (8 + 4)/2 · 2 = 12 см².

Ответ: 12 см². Примечание: если считать 4 см за длиннее основание, трапеция распадается на треугольник и его площадь была бы 4 см², но это не трапеция.