X³+4

Задача неполная: могу разобрать два наиболее полезных варианта для выражения x^3 + 4 в рамках 9 класса алгебры. Выберите нужный вам вариант или скажите, что именно нужно сделать. Вариант A. Разложить на множители (над действительными числами) - Замечаем, что 4 = (∛4)^3. Тогда выражение можно записать как сумма кубов: x^3 + (∛4)^3. - По формуле суммы кубов a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − a b + b^2) получаем x^3 + 4 = (x + ∛4)(x^2 − x∛4 + (∛4)^2). Здесь (∛4)^2 = ∛16. - Итог разложения над R: x^3 + 4 = (x + ∛4)(x^2 − ∛4 x + ∛16). Если нужно проверить: умножение (x + a)(x^2 − a x + a^2) даёт x^3 + a^3, а здесь a^3 = 4, следовательно верно. Вариант B. Найти корни (решить x^3 + 4 = 0) - Решаем уравнение x^3 + 4 = 0, то есть x^3 = −4. - Корень (реальный): x = −∛4. - Остальные два корня – комплексные. Из разложения над действительными: x^3 + 4 = (x + ∛4)(x^2 − ∛4 x + ∛16) = 0. Вторая скобка даёт: x = [∛4 ± i√3 ∙ ∛4]/2 = (∛4/2)(1 ± i√3). - Итог корней: - Реальный корень: x1 = −∛4 ≈ −1.587401052. - Два комплексных корня: x2,3 = (∛4/2)(1 ± i√3) ≈ 0.793700526 ± 1.373738707 i. Дополнительно - Неравенство/проверка на рациональные корни: по теореме о рациональных корнях возможные кандидаты ±1, ±2, ±4. Подстановка показывает, что ни один из них не является корнем, поэтому нельзя разложить x^3 + 4 на линейные множители с целыми коэффициентами. Значит, над целыми коэффициентами выражение не разлагается дальше (irreducible over Q), но над R можно разложить как в Варианте A.