Y=x³-1,5x²-36-6

Задача записана как y = x³ - 1,5x² - 36 - 6. По-видимому, это y = x³ - 1,5x² - 42 (так как -36 - 6 = -42). Если же intended запись была y = x³ - 1,5x² - 36x - 6, скажите — разберём и этот вариант отдельно. Здесь будем рассматривать именно y = x³ - 1,5x² - 42 и объяснять пошагово. Цель: понять поведение функции и корни. 1) Основные свойства - Функция: y = f(x) = x³ - 1,5x² - 42 - Границы поведения: как x → +∞, f(x) → +∞; как x → −∞, f(x) → −∞. - Перехождение через ось Y: при x = 0, f(0) = −42 (ось Y пересекается в y = −42). 2) Производные и критические точки - Первая производная: f'(x) = 3x² − 3x = 3x(x − 1) - Критические точки: f'(x) = 0 при x = 0 и x = 1. - Вторая производная: f''(x) = 6x − 3 - При x = 0: f''(0) = −3 < 0 → точка (0, f(0) = −42) является локальным максимумом. - При x = 1: f''(1) = 3 > 0 → точка (1, f(1)) является локальным минимумом. - Значения в критических точках: - f(0) = −42 - f(1) = 1 − 1,5 − 42 = −42,5 3) Интервалы возрастания/убывания - Для x < 0: f'(x) = 3x(x−1) > 0 (негативное на x, но (x−1) тоже негативен → умножение даёт положительное) → возрастание на (−∞, 0]. - Для 0 < x < 1: f'(x) < 0 → убывание на (0, 1). - Для x > 1: f'(x) > 0 → возрастание на (1, ∞). Иными словами: возрастание на (−∞, 0], убывание на [0, 1], возрастание на [1, ∞). 4) Корни (решение уравнения f(x) = 0) Нужно решить x³ − 1,5x² − 42 = 0. - За счёт того, что максимальная точка при x = 0 имеет значение −42, и минимальная при x = 1 имеет значение −42,5, вся кривая лежит ниже оси Y на промежутках до достаточно больших x. Так как слева функция стремится к −∞, а справа — к +∞, уравнение имеет ровно один действительный корень (остальные два корня будут комплексными). - Приближённое нахождение корня (численный метод: метод Ньютона): Пусть f(x) = x³ − 1,5x² − 42, f′(x) = 3x² − 3x. Первый приближённый шаг: взять x0 = 4. f(4) = 4³ − 1,5·4² − 42 = 64 − 24 − 42 = −2 f′(4) = 3·16 − 3·4 = 48 − 12 = 36 x1 = x0 − f(x0)/f′(x0) ≈ 4 − (−2)/36 ≈ 4.0556 Далее: f(4.0556) примерно 0.0316, f′(4.0556) ≈ 37.18 x2 ≈ 4.0556 − 0.0316/37.18 ≈ 4.0547 Получаем корень ≈ x ≈ 4.0547 (один действительный корень). - Примерно корень x ≈ 4.0547. Остальные два корня комплексны. Итого: - Функция имеет один реальный корень около x ≈ 4.0547. - Остальные два корня — комплексные. - Экстремумы: локальный максимум в (0, −42); локальный минимум в (1, −42,5). Если же задача была задумана для варианта y = x³ − 1,5x² − 36x − 6 (с пропущенным x после 36 и 6), скажите, и я быстро разберу этот вариант отдельно: найду критические точки, интервалы возрастания/убывания и корни для него.