реши задачу по геометрии 8 класс без теоремы фалеса: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середина двух его сторон. докажите свойства средней линии…
Реши задачу по геометрии 8 класс без теоремы фалеса: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середина двух его сторон. докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Задача: доказать, что средняя линия DE треугольника ABC (D — середина AB, E — середина AC) параллельна BC и равна половине BC, без использования теоремы Фалеса.
Пусть в треугольнике ABC точки D и E — середины AB и AC соответственно.
Пошаговое доказательство:
Через точку D проведём прямую DF, параллельную BC, и найдём её пересечение с AC. Обозначим точку пересечения как F.
Так как DF ∥ BC, треугольники ADF и ABC подобны (соотношения углов: ∠DAF = ∠BAC по общему углу A; ∠ADF = ∠ABC, ∠AFD = ∠ACB — по соответствующим углам при параллельных прямых).
Из подобия треугольников ADF и ABC имеем отношение AF/AC = AD/AB. Так как D — середина AB, AD = AB/2, значит AD/AB = 1/2. Следовательно AF/AC = 1/2, откуда AF = AC/2. Значит F — середина AC.
Но по условию E — середина AC, значит E и F совпадают. Следовательно E лежит на прямой DF, то есть DE ∥ BC (DE — часть прямой DF, параллельной BC).
Теперь снова применим факт подобия, на этот раз треугольников ADE и ABC, так как DE ∥ BC. Соответствие сторон: AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC. По аналогии длин DE/BC = AD/AB. Но AD = AB/2, значит DE/BC = 1/2. Отсюда DE = BC/2.
Вывод: средняя линия DE параллельна стороне BC и её длина равна половине длины BC.
