У Киры есть шесть одинаковых красных бусин и по одной синей, зелёной и жёлтой. Сколькими способами она может собрать из этих бусин браслет без застёжки?

Задача: у Киры 6 одинаковых красных бусин и по одной синей, зелёной и жёлтой. Сколько браслетов можно составить из этих бусин без застёжки? Метод: для браслета без застёжки учитываем симметрии окружности (вращения и отражения). Это задача по теории групп иBurnside’s Lemma: число различных браслетов равно среднему числу раскрасьваний, фиксируемых каждой симметрией. Обозначим цвета и их количества: R — красный (6 шт), B — синий (1 шт), G — зелёный (1 шт), Y — жёлтый (1 шт). Всего 9 бусин. 1) Раскладываем по симметриям группы D9 (диэдральная группа из 9 вращений и 9 отражений). 2) Фиксируемые раскраски для каждой симметрии - Вращение на 0 позиций (идеал): фиксирует все расстановки. Их число равно количеству линейных размещений с даннымиcounts: 9!/(6!1!1!1!) = 504. - Вращение на k ≠ 0: у нас 9 позиций, поэтому поразличные вращения дают: - gcd(9, k) = 1 (к=1,2,4,5,7,8): получается одна кольцевая орбита из 9 позиций. Все позиции должны иметь одинаковый цвет. Это невозможно, так как цветов несколько и их количества фиксированы (6 красных и по одному каждого из остальных). Значит Fix = 0. - gcd(9, k) = 3 (к=3,6): получаются 3 орбиты по 3 позиции каждая. Чтобы быть фиксированным при таком вращении, внутри каждой орбиты все 3 позиции должны быть одного цвета. Но у нас есть только 6 красных (то есть две орбиты можно сделать красными), а остальные орбиты потребуют три бусины одного цвета, но у цветовых остатков по одной бусине каждого из B, G, Y. Невозможно распределить так, чтобы все три орбиты заполнились одинаковыми цветами. Значит Fix = 0. Итого по всем вращениям: кроме идентичности, фиксировалось 0. - Отражения (для нечетного n, here n=9): каждая отражение имеет одну осевую бусину и 4 пары взаимно противоположных бусин. Чтобы раскраска была фиксирована при отражении, каждая пара должна быть одной и той же краской, т.е. пары дают цвета в кратном 2, а осевая бусина contributing 1 к какому-то цвету. В нашихCounts цвета: R = 6 (четное), B = G = Y = 1 (по одному каждого). Любой разбор по оси и парам требует использовать в парах по две бусины одного цвета. У нас же только красные можно заполнить пары; остальные цвета по одной штуке не могут заполнить пару. Невозможно разместить так, чтобы все 4 пары и осевая бусина удовлетворяли условиям. Поэтому Fix = 0 для всех 9 отражений. 3) Подсчёт - Fix(identity) = 504 - Fix(любое другое вращение) = 0 - Fix(любое отражение) = 0 По формуле Бёрнсайдa: число различных браслетов = (1/|D9|) ∑Fix(g) = (1/18) × 504 = 28. Ответ: 28. Краткое резюме: из-за того, что три разных цвета встречаются по одному разу, а остальные 6 бусин — красного цвета, ни одна непроизвольная симметрия, кроме полного поворота на 0 позиций, не может оставить браслет неизменным. Поэтому количество различных браслетов равно 504 разделить на 18, давая 28 вариантов.