Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение

• Пусть V — точка пересечения касательных к окружности в точках A и B, центр окружности — O. Нам дан угол между касательными: ∠AVB = 56°.
• Известно: VA и VB — касательные из одной внешней точки V, поэтому VA = VB. Также OA и OB — радиусы, поэтому OA = OB. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания: ∠OAV = ∠OBV = 90°.
• Рассмотрим треугольники AOV и BOV. Оба они прямые (в A и B по 90°), общая гипотенуза OV, и равны соответствующие катеты OA = OB. По признак HL (гипотенуза и один катет равны), эти треугольники конгруэнтны. Следовательно, углы при V равны: ∠AVO = ∠OVB.
• Угол между касательными разбивает на два равных угла: ∠AVB = ∠AVO + ∠OVB = 2∠AVO.
• Имеем: 56° = 2∠AVO, значит ∠AVO = 28°.

Ответ: 28°