5х²-2х+3=0

Задача: 5x^2 - 2x + 3 = 0 Цель: понять решение и увидеть, какие корни существуют.

Метод 1. По дискриминанту (классический способ для 9-го класса)

• Обозначим a = 5, b = -2, c = 3.
• Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4·5·3 = 4 - 60 = -56.
• Так как D < 0, вещественных корней нет. Есть два комплексных корня, которые образуют пару сопряжённых.
• Формула корней: x = [-b ± sqrt(D)] / (2a). Подставляем: x = [2 ± sqrt(-56)] / 10 = [2 ± i·sqrt(56)] / 10.
• Упростим sqrt(56): sqrt(56) = 2√14. Тогда x = [2 ± 2i√14] / 10 = [1 ± i√14] / 5.
• В числовом виде, √14 ≈ 3.7417, поэтому x1 ≈ 0.2 + 0.7483i, x2 ≈ 0.2 - 0.7483i.
• Итог по этому методу: корни x = (1 ± i√14) / 5 (комплексные сопряжённые).

Метод 2. Дополнение до квадрата (показывает тот же результат по-другому)

• Разделим уравнение на коэффициент при x^2: x^2 - (2/5)x + 3/5 = 0.
• Дополним квадрат: x^2 - (2/5)x = (x - 1/5)^2 - (1/5)^2.
• Уравнение становится: (x - 1/5)^2 - 1/25 + 3/5 = 0.
• Приведём к общему знаменателю: -1/25 + 3/5 = -1/25 + 15/25 = 14/25.
• Получаем: (x - 1/5)^2 + 14/25 = 0, значит (x - 1/5)^2 = -14/25.
• Отсюда x - 1/5 = ± i√14 / 5, и x = 1/5 ± i√14 / 5.
• Это те же корни: x = (1 ± i√14) / 5.

Ответ:

• В действительных числах решения нет.
• Комплексные корни: x = (1 ± i√14) / 5 (пара сопряжённых). Приближённо x ≈ 0.2 ± 0.7483i.