Лучи OA , OB и OC образуют три угла, меньшие развёрнутого. Известно, что угол AOB прямой и что некоторые два угла отличаются друг от друга на 20∘ . Чему может быть равен больший из углов? Перечислите все возможные значения.

Ответ: 180°. Ниже подробное решение. 1) Обозначим углы между лучами: - ∠BOC = α - ∠COA = β Так как OA и OB противоположны, выполняется α + β = 180°, и 0 < α < 180, 0 < β < 180. 2) Условие задачи говорит: некоторые два угла различаются на 20°. Это означает, что выполняются хотя бы одно из следующих равенств: - |∠AOB − ∠BOC| = 20 → |180 − α| = 20 - |∠AOB − ∠COA| = 20 → |180 − β| = 20 - |∠BOC − ∠COA| = 20 → |α − β| = 20 3) Решим каждое из условий вместе с α + β = 180. - |180 − α| = 20 → α = 160 (естественно, не можем взять 200). Тогда β = 20. - |180 − β| = 20 → β = 160 → α = 20. - |α − β| = 20 и α + β = 180 → 2α − 180 = ±20 → α = 80 или α = 100; тогда соответственно β = 100 или β = 80. Итак, возможны пары (α, β): (160, 20), (20, 160), (80, 100), (100, 80). 4) Три угла — это {∠AOB, ∠BOC, ∠COA} = {180°, α, β}. В каждом из перечисленных случаев наибольший угол равен 180°. Следовательно, больший из углов может быть только 180°. Дополнительное замечание (если бы имелось в виду больший из двух меньших углов, помимо AOB): максимальное значение равных α и β равно 160° или 100°, то есть возможны числа 160° или 100°, но это не меняет ответ на основной вопрос, где наибольший угол — 180°.