На оси Оx найди точку, равноудаленную от точек M(5; 3; -1) и N(1; -7; 3)

Цель понятна: найти точку на оси Ox, равнокдалёную расстоянием до точек M и N.

Пусть точка на оси Ox имеет координаты P = (x, 0, 0).

Расстояния от P до M и N по формуле расстояния в 3D:

• PM^2 = (x − 5)^2 + (0 − 3)^2 + (0 − (−1))^2 = (x − 5)^2 + 9 + 1 = (x − 5)^2 + 10
• PN^2 = (x − 1)^2 + (0 − (−7))^2 + (0 − 3)^2 = (x − 1)^2 + 49 + 9 = (x − 1)^2 + 58

Задача равносильна тому, чтобы PM = PN, то есть PM^2 = PN^2: (x − 5)^2 + 10 = (x − 1)^2 + 58

Раскрываем скобки и упрощаем: x^2 − 10x + 25 + 10 = x^2 − 2x + 1 + 58 x^2 − 10x + 35 = x^2 − 2x + 59 −10x + 35 = −2x + 59 −8x = 24 x = −3

Таким образом, искомая точка на оси Ox: P = (−3, 0, 0).

Проверка: PM^2 = (−3 − 5)^2 + 9 + 1 = (−8)^2 + 10 = 64 + 10 = 74 PN^2 = (−3 − 1)^2 + 49 + 9 = (−4)^2 + 58 = 16 + 58 = 74 Оба расстояния равны, значит точка найдена правильно.

Ответ: (−3, 0, 0).