0,01^x + 9,9 × (0.1)^x - 1 = 0
Задача: 0,01^x + 9,9 × (0,1)^x - 1 = 0
Пояснение и решение по шагам (для 10-го класса):
- Замена переменной
- Обозначим t = (0,1)^x. Тогда так как 0,01 = (0,1)^2, имеем: (0,01)^x = [(0,1)^2]^x = (0,1)^{2x} = t^2.
- Получаем квадратное уравнение
- Подставляем в исходное: t^2 + 9,9 t - 1 = 0.
- Решение квадратного уравнения
Дискриминант: D = 9,9^2 - 4·1·(-1) = 98,01 + 4 = 102,01.
Корни: t = [-9,9 ± √102,01]/2 = [-9,9 ± 10,1]/2. Точки:
- t1 = (-9,9 + 10,1)/2 = 0,2/2 = 0,1
- t2 = (-9,9 - 10,1)/2 = (-20)/2 = -10
Положительное ограничение t > 0 даёт единственное допустимое решение: t = 0,1.
- Возвращаемся к x
- Теперь t = (0,1)^x = 0,1.
- Это равносильно (0,1)^x = (0,1)^1, значит x = 1 (для основания 0,1 угодно положительное, не равное 1, и равенство сохраняется только при совпадении степеней).
- Проверка
- Подставим обратно: 0,01^1 + 9,9 × (0,1)^1 - 1 = 0,01 + 9,9×0,1 - 1 = 0,01 + 0,99 - 1 = 0.
Ответ: x = 1.
Обсуждение
2 сообщения(1/2)^{2x} - (1/2)^{x-2} - 32 = 0
Решим уравнение \((1/2)^{2x} - (1/2)^{x-2} - 32 = 0\).
Замена переменной: Обозначим \(y = (1/2)^x\). Тогда: \[ (1/2)^{2x} = y^2 \] и \[ (1/2)^{x-2} = \frac{y}{(1/2)^2} = 4y. \]
Теперь у нас есть уравнение: \[ y^2 - 4y - 32 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант \(D\): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144. \]
Теперь найдем корни: \[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 12}{2}. \] Получаем два корня: \[ y_1 = \frac{16}{2} = 8, \] \[ y_2 = \frac{-8}{2} = -4. \]
Так как \(y = (1/2)^x\) не может быть отрицательным, нам интересен только корень \(y = 8\).
Возвращаемся к \(x\): \((1/2)^x = 8\) можно выразить как: \[ (1/2)^x = (1/2)^{-3}. \] Следовательно, мы имеем: \[ x = -3. \]
Проверка: Подставим \(x = -3\) в исходное уравнение: \[ (1/2)^{2(-3)} - (1/2)^{-3-2} - 32 = (1/2)^{-6} - (1/2)^{-5} - 32. \] Это равно: \[ 64 - 32 - 32 = 0. \]
Ответ: \(x = -3\).
