Задача: 0,01^x + 9,9 × (0,1)^x - 1 = 0
Пояснение и решение по шагам (для 10-го класса):
1) Замена переменной
- Обозначим t = (0,1)^x. Тогда так как 0,01 = (0,1)^2, имеем:
(0,01)^x = [(0,1)^2]^x = (0,1)^{2x} = t^2.
2) Получаем квадратное уравнение
- Подставляем в исходное:
t^2 + 9,9 t - 1 = 0.
3) Решение квадратного уравнения
- Дискриминант: D = 9,9^2 - 4·1·(-1) = 98,01 + 4 = 102,01.
- Корни: t = [-9,9 ± √102,01]/2 = [-9,9 ± 10,1]/2.
Точки:
- t1 = (-9,9 + 10,1)/2 = 0,2/2 = 0,1
- t2 = (-9,9 - 10,1)/2 = (-20)/2 = -10
- Положительное ограничение t > 0 даёт единственное допустимое решение: t = 0,1.
4) Возвращаемся к x
- Теперь t = (0,1)^x = 0,1.
- Это равносильно (0,1)^x = (0,1)^1, значит x = 1 (для основания 0,1 угодно положительное, не равное 1, и равенство сохраняется только при совпадении степеней).
5) Проверка
- Подставим обратно:
0,01^1 + 9,9 × (0,1)^1 - 1 = 0,01 + 9,9×0,1 - 1 = 0,01 + 0,99 - 1 = 0.
Ответ: x = 1.
