Решите уравнение 2sin (x - π) = √(2) на промежутке (0; 2π)
Задача: 2 sin(x − π) = √2 на промежутке (0; 2π)
Пояснение по шагам (уровень 10-го класса, цель — понять):
Изолируем синус 2 sin(x − π) = √2 ⇒ sin(x − π) = √2 / 2
Значение √2/2 известно как синус угла π/4 (и также 3π/4): sin(π/4) = √2/2, sin(3π/4) = √2/2.
Пусть y = x − π. Тогда уравнение становится sin(y) = √2/2.
- Общие решения синуса равного √2/2:
- y = π/4 + 2kπ
- y = 3π/4 + 2kπ где k ∈ Z.
- Возвращаемся к x: y = x − π, значит
- x − π = π/4 + 2kπ ⇒ x = π + π/4 + 2kπ = 5π/4 + 2kπ
- x − π = 3π/4 + 2kπ ⇒ x = π + 3π/4 + 2kπ = 7π/4 + 2kπ
- По условию промежуток (0; 2π). Рассмотрим значения при целых k:
- Для k = 0: x = 5π/4 и x = 7π/4 — обе лежат в (0; 2π).
- Для k = −1: x = 5π/4 − 2π = −3π/4 и x = 7π/4 − 2π = −π/4 — меньше 0.
- Для k = 1: x = 5π/4 + 2π = 13π/4 и x = 7π/4 + 2π = 15π/4 — больше 2π.
Итак, решения на (0; 2π): x = 5π/4 и x = 7π/4.
Проверка:
- Для x = 5π/4: x − π = π/4, sin(π/4) = √2/2, 2·√2/2 = √2 ✔
- Для x = 7π/4: x − π = 3π/4, sin(3π/4) = √2/2, 2·√2/2 = √2 ✔
Ответ: x = 5π/4 или x = 7π/4.
Обсуждение
2 сообщенияа если кратко чуть чуть
Решение уравнения \(2 \sin(x - \pi) = \sqrt{2}\) на промежутке \((0; 2\pi)\):
Изолируем синус: \[ \sin(x - \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Углы, для которых \(\sin(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ y = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] где \(k \in \mathbb{Z}\).
Подставляем \(y = x - \pi\): \[ x - \pi = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{5\pi}{4} \] \[ x - \pi = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{7\pi}{4} \]
Проверяем, что \(x\) находится в пределах \((0; 2\pi)\):
- \(x = \frac{5\pi}{4}\)
- \(x = \frac{7\pi}{4}\)
Ответ: \(\frac{5\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\).
