Решите уравнение 2sin (x - π) = √(2) на промежутке (0; 2π)

Задача: 2 sin(x − π) = √2 на промежутке (0; 2π) Пояснение по шагам (уровень 10-го класса, цель — понять): 1) Изолируем синус 2 sin(x − π) = √2 ⇒ sin(x − π) = √2 / 2 2) Значение √2/2 известно как синус угла π/4 (и также 3π/4): sin(π/4) = √2/2, sin(3π/4) = √2/2. Пусть y = x − π. Тогда уравнение становится sin(y) = √2/2. 3) Общие решения синуса равного √2/2: - y = π/4 + 2kπ - y = 3π/4 + 2kπ где k ∈ Z. 4) Возвращаемся к x: y = x − π, значит - x − π = π/4 + 2kπ ⇒ x = π + π/4 + 2kπ = 5π/4 + 2kπ - x − π = 3π/4 + 2kπ ⇒ x = π + 3π/4 + 2kπ = 7π/4 + 2kπ 5) По условию промежуток (0; 2π). Рассмотрим значения при целых k: - Для k = 0: x = 5π/4 и x = 7π/4 — обе лежат в (0; 2π). - Для k = −1: x = 5π/4 − 2π = −3π/4 и x = 7π/4 − 2π = −π/4 — меньше 0. - Для k = 1: x = 5π/4 + 2π = 13π/4 и x = 7π/4 + 2π = 15π/4 — больше 2π. Итак, решения на (0; 2π): x = 5π/4 и x = 7π/4. Проверка: - Для x = 5π/4: x − π = π/4, sin(π/4) = √2/2, 2·√2/2 = √2 ✔ - Для x = 7π/4: x − π = 3π/4, sin(3π/4) = √2/2, 2·√2/2 = √2 ✔ Ответ: x = 5π/4 или x = 7π/4.