Решите уравнение tgx = ±√3

Задача: решить уравнение tan x = ±√3 (tg — тангенс).

Пояснение и решение по шагам (для 10 класса, цель: понять):

1. Разделим на два случая

• Случай A: tan x = √3
• Случай B: tan x = -√3

2. Найдём общие решения каждого случая

• Для tan x = √3 известно, что tan образует значение √3 при угле π/3 (и повторяется с периодом π). Значит: x = π/3 + kπ, где k ∈ Z.

• Для tan x = -√3 известно, что tan образует значение -√3 при угле -π/3 (или 2π/3) и тоже с периодом π. Значит: x = -π/3 + kπ, где k ∈ Z. Альтернативно можно записать как x = 2π/3 + kπ, что эквивалентно предыдущему выражению.

3. Объединяем решения

• Все решения задаются объединением двух семей: x = π/3 + kπ, либо x = -π/3 + kπ, при любом целом k. Можно tamén записать как: x = π/3 + kπ или x = 2π/3 + kπ, при k ∈ Z.

4. Примеры в интервале [0, 2π)

• В этом интервале дают четыре решения: x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3.

5. Коротко о проверке

• Тангенс имеет период π, поэтому оба базовых угла (π/3 и -π/3) повторяются через каждый π.
• В точках x = π/2 + πk и x = 3π/2 + πk тангенс не определён, но найденные нами значения не лежат в таких точках, значит они допустимы.

Итог:

• Общий вид решений: x = π/3 + kπ или x = -π/3 + kπ, где k ∈ Z.
• В интервале [0, 2π): x ∈ {π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3}.