Решите систему уравнений х квадрате + у квадрате = 10 ху= 3

Задача: решить систему - x^2 + y^2 = 10 - xy = 3 Пошаговый путь 1: через (x+y) и (x−y) 1) Найдём (x + y)^2: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 10 + 2·3 = 16 Значит, x + y = ±4. 2) Найдём (x − y)^2: (x − y)^2 = x^2 − 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) − 2xy = 10 − 2·3 = 4 Значит, x − y = ±2. 3) Совместим эти значения. Рассмотрим все четыре комбинации: - a) x + y = 4 и x − y = 2 → складывая: 2x = 6 → x = 3, тогда y = 1. - b) x + y = 4 и x − y = −2 → 2x = 2 → x = 1, тогда y = 3. - c) x + y = −4 и x − y = 2 → 2x = −2 → x = −1, тогда y = −3. - d) x + y = −4 и x − y = −2 → 2x = −6 → x = −3, тогда y = −1. 4) Проверка на xy = 3: - (3, 1): xy = 3, подходит - (1, 3): xy = 3, подходит - (−1, −3): xy = 3, подходит - (−3, −1): xy = 3, подходит Ответ: все решения системы (3, 1), (1, 3), (−1, −3), (−3, −1). Дополнительный быстрый метод (для проверки): из xy = 3 можно выразить y = 3/x и подставить в x^2 + y^2 = 10: x^2 + (3/x)^2 = 10 → x^4 − 10x^2 + 9 = 0 → t = x^2: t^2 − 10t + 9 = 0 → t = 1 или t = 9 → x = ±1 или x = ±3, после чего y = 3/x даёт те же пары.