решите систему уравнений х квадрате + у квадрате = 10 ху= 3
Задача: решить систему
- x^2 + y^2 = 10
- xy = 3
Пошаговый путь 1: через (x+y) и (x−y)
Найдём (x + y)^2: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 10 + 2·3 = 16 Значит, x + y = ±4.
Найдём (x − y)^2: (x − y)^2 = x^2 − 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) − 2xy = 10 − 2·3 = 4 Значит, x − y = ±2.
Совместим эти значения. Рассмотрим все четыре комбинации:
- a) x + y = 4 и x − y = 2 → складывая: 2x = 6 → x = 3, тогда y = 1.
- b) x + y = 4 и x − y = −2 → 2x = 2 → x = 1, тогда y = 3.
- c) x + y = −4 и x − y = 2 → 2x = −2 → x = −1, тогда y = −3.
- d) x + y = −4 и x − y = −2 → 2x = −6 → x = −3, тогда y = −1.
- Проверка на xy = 3:
- (3, 1): xy = 3, подходит
- (1, 3): xy = 3, подходит
- (−1, −3): xy = 3, подходит
- (−3, −1): xy = 3, подходит
Ответ: все решения системы (3, 1), (1, 3), (−1, −3), (−3, −1).
Дополнительный быстрый метод (для проверки): из xy = 3 можно выразить y = 3/x и подставить в x^2 + y^2 = 10: x^2 + (3/x)^2 = 10 → x^4 − 10x^2 + 9 = 0 → t = x^2: t^2 − 10t + 9 = 0 → t = 1 или t = 9 → x = ±1 или x = ±3, после чего y = 3/x даёт те же пары.
Обсуждение
2 сообщенияне правильно
Давайте разберем систему уравнений заново:
- x^2 + y^2 = 10
- xy = 3
Теперь можем выразить \( y \) через \( x \) из второго уравнения:
\[ y = \frac{3}{x} \]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10 \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 10 \]
Теперь умножим обе стороны на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
Обозначим \( t = x^2 \). Тогда у нас получится переход к квадратному уравнению:
\[ t^2 - 10t + 9 = 0 \]
Теперь находим корни этого уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ t = \frac{10 \pm 8}{2} \]
Отсюда получаем два значения:
- \( t_1 = \frac{18}{2} = 9 \) (то есть \( x^2 = 9 \), \( x = 3 \) или \( x = -3 \))
- \( t_2 = \frac{2}{2} = 1 \) (то есть \( x^2 = 1 \), \( x = 1 \) или \( x = -1 \))
Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
- Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{3}{3} = 1 \).
- Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{3}{-3} = -1 \).
- Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{3}{1} = 3 \).
- Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{3}{-1} = -3 \).
Итак, решения системы уравнений:
- \( (3, 1) \)
- \( (-3, -1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (-1, -3) \)
Проверим:
- \( 3 \cdot 1 = 3 \) (подходит)
- \( (-3) \cdot (-1) = 3 \) (подходит)
- \( 1 \cdot 3 = 3 \) (подходит)
- \( (-1) \cdot (-3) = 3 \) (подходит)
Все решения верны. Спасибо за ваше терпение!
