Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Алгебра 2. Тема теста: бесконечно убывающая геометрическая 3. Класс учеников: 9 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 5 6. Выводить ли тест с ответами: Да

Ниже представлен тест по алгебре на тему бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тип вопросов: открытые. Класс: 9. 5 вопросов. Ответы приведены после заданий. 1) Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с a1 = 12 и r = 1/3. Запишите общую формулу для n-го члена и найдите значение a7. 2) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: a1 = 7, r = 1/3. Запишите S∞ и вычислите его. 3) Найдите наименьшее целое n такое, что an < 0.5 для геометрической прогрессии с a1 = 20 и r = 1/3. 4) Найдите сумму первых 8 членов S8 геометрической прогрессии с a1 = 9 и r = 1/2. 5) Для a1 = 50 и r = 3/5 найдите a7 и сумму бесконечной прогрессии S∞. Ответы (пошагово): 1) Обобщение и a7 - Обобщение: an = a1 · r^(n-1) = 12 · (1/3)^(n-1). - a7: a7 = 12 · (1/3)^6 = 12 / 729 = 4/243 ≈ 0.01646. 2) Сумма бесконечной прогрессии - Так как |r| < 1, существует сумма бесконечного ряда: S∞ = a1 / (1 − r) = 7 / (1 − 1/3) = 7 / (2/3) = 21/2 = 10.5. 3) Наконецть n, когда an < 0.5 - an = a1 · r^(n−1) = 20 · (1/3)^(n−1) < 0.5 - (1/3)^(n−1) < 0.5 / 20 = 0.025 - (1/3)^(n−1) уменьшается с ростом n; проверяя степени: (1/3)^3 = 1/27 ≈ 0.037 > 0.025; (1/3)^4 = 1/81 ≈ 0.0123 < 0.025 - Следовательно, n − 1 ≥ 4, то есть n ≥ 5. Наименьшее подходящее n = 5. 4) Сумма первых 8 членов - S_n = a1 · (1 − r^n) / (1 − r) = 9 · (1 − (1/2)^8) / (1 − 1/2) = 9 · (1 − 1/256) / (1/2) = 18 · (1 − 1/256) - S8 = 18 · (255/256) = 4590/256 = 2295/128 ≈ 17.9297. 5) a7 и S∞ - a7 = a1 · r^(7−1) = 50 · (3/5)^6 = 50 · 729 / 15625 = 1458/625 ≈ 2.3328. - S∞ = a1 / (1 − r) = 50 / (1 − 3/5) = 50 / (2/5) = 125. Если нужно, могу адаптировать сложность задач под конкретный уровень класса или формат ответов (пример заполнения, черновик решений и т. п.).