Найдите периметр равнобокой трапеции, если её основания равны 9 см и 14 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам.
Задача: равнобочная трапеция с основаниями 9 см и 14 см, диагональ делит острый угол пополам. Найти периметр.
Обозначения:
- Основания AB = 14 (нижнее) и CD = 9 (верхнее).
- Боковые стороны AD = BC = L (длинаЬ боковых сторон).
- Пусть координаты: A(0,0), B(14,0). Так как трапеция равнобочная, верхнее основание центрировано над нижним, поэтому D(2.5, h), C(11.5, h) для некоторого h > 0. Тогда AD и BC равны.
Условие: диагональ AC делит острый угол A на две равные части. При этом угол ∠DAB образован векторaми AB и AD, а диагональ AC должна быть бисектором этого угла.
- Векторы вдоль сторон у A:
- AB: (14, 0), единичный вектор e1 = (1, 0).
- AD: (2.5, h), длина |AD| = sqrt(2.5^2 + h^2) = sqrt(6.25 + h^2). Единичный вектор e2 = (2.5, h) / sqrt(6.25 + h^2).
Направление бисектора угла A совпадает с суммой единичных векторов: s = e1 + e2 = (1 + 2.5/√(6.25 + h^2), h/√(6.25 + h^2)).
Направление диагонали AC равно вектору AC = (11.5, h). По условию AC параллелен бисектору, значит существует коэффициент k > 0: (11.5, h) = k·s.
Из второго компонента получаем k = √(6.25 + h^2). Подставляя в первую компоненту: 11.5 = √(6.25 + h^2) · (1 + 2.5 / √(6.25 + h^2)) = √(6.25 + h^2) + 2.5.
Отсюда √(6.25 + h^2) = 11.5 − 2.5 = 9, следовательно: 6.25 + h^2 = 81 → h^2 = 74.75.
Длина боковой стороны: L = |AD| = √(2.5^2 + h^2) = √(6.25 + 74.75) = √81 = 9 см.
Периметр трапеции: P = AB + CD + 2L = 14 + 9 + 2·9 = 14 + 9 + 18 = 41 см.
Проверка (жизненная проверка угла): угол между AB и AC и угол между AC и AD получаются одинаковыми, что подтверждает бисектрису.
Ответ: периметр трапеции равен 41 см.
