log8(5x+47)=3

Задача: log_8(5x + 47) = 3

Пошаговое решение

1. Понимание домена

• Поскольку под логарифмом должен быть положительный аргумент: 5x + 47 > 0.
• Это ограничение даёт x > -47/5 = -9.4. Наше решение должно удовлетворять этому.

2. Преобразование логарифма в показатель

• По определению логарифма: log_b(A) = C эквивалентно A = b^C, при b > 0, b ≠ 1.
• Здесь b = 8, A = 5x + 47, C = 3.
• Значит: 5x + 47 = 8^3.

3. Вычисление степени

• 8^3 = 8 × 8 × 8 = 64 × 8 = 512.
• Следовательно: 5x + 47 = 512.

4. Решение неопределённого уравнения

• 5x = 512 − 47 = 465.
• x = 465 / 5 = 93.

5. Проверка

• Подставим обратно: 5x + 47 = 5·93 + 47 = 465 + 47 = 512.
• log_8(512) = log_8(8^3) = 3. Совпадает, проверка прошла.

Ответ: x = 93

Дополнительная заметка

• Можно также записать решение как x = (8^3 − 47) / 5 = (512 − 47)/5 = 465/5 = 93.
• Домена не нарушается, так как 5·93 + 47 = 512 > 0.