A B C A 1 B 1 C 1 ABCA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ — правильная призма. Отрезок C M CM образует с плоскостью основания ( A B C ) (ABC) угол 30 ° 30° . Найди объём призмы, если A B = 2 AB=2 .

Задача решается при допущении, что M — центр верхней основы A1B1C1. Тогда CM проходит от вершины C нижней основы ABC к центру верхней основы, и его проекция на плоскость основания совпадает с центром треугольника ABC.

Данные:

• Призма правильная (основание — равнобольный/регулярный многоугольник; в трёхугольной призме основание ABC — равносторонний треугольник).
• AB = 2, значит стороны основания равны: AB = BC = CA = 2.
• Угол между CM и плоскостью основания ABC равен 30°.
• Обозначим высоту призмы (длину боковых ребер) как h = AA1.

1. Площадь основания и расстояние CO

• Так как основание ABC — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь: S_base = √3/4 · s^2 = √3/4 · 2^2 = √3.
• Центр основания O (центр равностороннего треугольника) находится на расстоянии CO = (√3/3)·s от любой вершины, то есть: CO = (√3/3) · 2 = 2√3/3.

2. Связь высоты h с углом 30°

• Угол между ребром CM и плоскостью основания равен углу между CM и её проекцией на плоскость основания. Проекцией CM на основание будет отрезок CO.
• Следовательно, tan(∠CM,плоскость) = высота / горизонтальная часть = h / CO.
• По условию ∠CM,плоскость = 30°, значит tan 30° = h / CO. tan 30° = 1/√3, поэтому h = CO · tan 30° = (2√3/3) · (1/√3) = 2/3.

3. Объем призмы

• Объем трёхмерной призмы V = площадь основания · высота = S_base · h.
• V = √3 · (2/3) = 2√3/3.

Ответ: V = 2√3/3 единиц³ (примерно 1.155).