Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла PMK в точках A, B, E и C. Известно, что MC = 3,5ME, BC = 21 см. Найдите AE.
Разберём задачу в двумерной проекции на плоскость Ω, которая содержит лучи PM и MK (плоскость угла PMK). Плоскости α и β параллельны, поэтому их_trace в плоскости Ω — две параллельные прямые, которые пересекают лучи MP и MK в точках A, E (для α) и B, C (для β).
Шаги решения:
- В плоскости Ω введём координаты:
- M в начале координат (0,0);
- MP вдоль оси x, MK вдоль оси y;
- точки: A = (MA, 0), B = (MB, 0) на оси x;
- точки: E = (0, ME), C = (0, MC) на оси y.
Прямая α проходит через A и E, значит её уравнение по интерцептам: x/MA + y/ME = 1. Её наклон равен -ME/MA.
Прямая β проходит через B и C, значит её уравнение: x/MB + y/MC = 1. Её наклон равен -MC/MB.
Так как α и β параллельны, их наклоны равны: ME/MA = MC/MB.
Используем условие MC = 3,5 ME. Отсюда: ME/MA = MC/MB = (3,5 ME)/MB. После сокращения ME получаем MB = 3,5 MA.
Найдём BC и AE через MA и ME:
- BC — расстояние между B = (MB, 0) и C = (0, MC): BC^2 = MB^2 + MC^2 = (3,5 MA)^2 + (3,5 ME)^2 = (3,5)^2 (MA^2 + ME^2).
- AE — расстояние между A = (MA, 0) и E = (0, ME): AE^2 = MA^2 + ME^2.
Из предыдущего: BC^2 = (3,5)^2 AE^2 => BC = 3,5 · AE.
Решаем задачу по данному BC: AE = BC / 3,5.
Подставим данное BC = 21 см: AE = 21 см / 3,5 = 6 см.
Ответ: AE = 6 см.
Дополнительный комментарий (обобщение): если MC = t · ME и прямая α параллельна β, то MB = t · MA и BC = t · AE, поэтому AE = BC / t. В нашем случае t = 3,5, BC = 21 см, AE = 6 см.
