отрезки AB и CD пересекаються в середине отрезка AB в точке О,угол OAD = углу OBC. а)докажите что треугольник CBO = треугольнику DAO б) найдите BC и CO если CD — 11 см AD—19см
Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой AB (O — середина AB). Угол OAD равен углу OBC.
Задача: а) доказать, что треугольники CBO и DAO равны; б) найти BC и CO при CD = 11 см и AD = 19 см.
Пояснение и решение
Так как O — середина AB, имеем OA = OB.
Так как O лежит на CD, точки C, O, D лежат на одной прямой. Следовательно лучи OC и OD противоположны, как и лучи OB и OA.
Из этого следует, что ∠COB = ∠AOD: угол между OC и OB равен углу между OD и OA (замена каждого луча на противоположный не меняет меру угла).
Согласно условию дана равность углов: ∠CBO = ∠OAD. Заметим, что ∠OBC = ∠CBO (успомните, это один и тот же угол, просто другой порядок записи).
Рассматриваем треугольники CBO и AOD:
- ∠CBO = ∠OAD (дано),
- ∠COB = ∠AOD (пункт 3),
- OB = OA (пункт 1).
Тогда треугольники CBO и AOD равны по ASA (две угла и прилежащая к ним сторона OB = OA). Отсюда соответствующие стороны совпадают:
- BC соответствует AD, следовательно BC = AD = 19 см.
- CO соответствует DO, следовательно CO = DO.
- Так как CD = CO + DO и CO = DO, имеем CD = 2·CO. Значит CO = CD/2 = 11 см / 2 = 5,5 см. Соответственно DO тоже равно 5,5 см.
Ответы a) Треугольники CBO и DAO равны (CBO ↔ DAO по соответствию C ↔ D, B ↔ A, O ↔ O).
б) BC = 19 см, CO = 5,5 см (и DO = 5,5 см).
