У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучке по пять штук то одна ракушка осталась а когда она разложила их в кучке по три штуки то осталось две…

Задача: число ракушек n удовлетворяет:

• 30 < n < 50
• при разложении по 5 остаётся 1 -> n ≡ 1 (mod 5)
• при разложении по 3 остаётся 2 -> n ≡ 2 (mod 3)

Шаг 1. Решим систему конгруэнций n = 5k + 1 (из n ≡ 1 (mod 5)

Подставляем в условие по модулю 3: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3) Так как 5 ≡ 2 (mod 3), имеем 2k ≡ 1 (mod 3) → k ≡ 2 (mod 3)

Пусть k = 3t + 2. Тогда n = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11

Значит n ≡ 11 (mod 15).

Шаг 2. Найдём подходящее n во диапазоне (30, 50) Виды n: 11, 26, 41, 56, … В диапазоне между 30 и 50 подходит только n = 41.

Шаг 3. Проверка 41 ÷ 5 = 8 остаток 1; 41 ÷ 3 = 13 остаток 2. Всё верно.

Ответ: 41 ракушка.