У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталось, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки. Сколько ракушекбыло у русалочки?

Задача: число ракушек N такое, что - N ≡ 1 (mod 5) — при разбиении на кучки по 5 остаётся 1 ракушка; - N ≡ 2 (mod 3) — при разбиении на кучки по 3 остаётся 2 ракушки; - 30 < N < 50. Шаг 1. Запишем условия в виде выражений. - N = 5a + 1 - N = 3b + 2 Шаг 2. Свести к одной переменной. Из N = 5a + 1 подставим во второе условие: 5a + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5a ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2a ≡ 1 (mod 3). Обратная к 2 по модулю 3 — это 2, следовательно a ≡ 2 (mod 3). Значит a = 3t + 2, где t целое. Подставим обратно: N = 5a + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. Итак, общая форма решений: N ≡ 11 (mod 15). Шаг 3. Найдём подходящее N в диапазоне 31–49. Числа, которые дают N ≡ 11 (mod 15): 11, 26, 41, 56, ... Из диапазона 31–49 подходят только N = 41. Проверка: - 41 ÷ 5 = 8 кучек и остаток 1 — верно. - 41 ÷ 3 = 13 кучек и остаток 2 — верно. Ответ: у русалочки было 41 ракушка.