у русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталось, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…

Задача: число ракушек N такое, что

• N ≡ 1 (mod 5) — при разбиении на кучки по 5 остаётся 1 ракушка;
• N ≡ 2 (mod 3) — при разбиении на кучки по 3 остаётся 2 ракушки;
• 30 < N < 50.

Шаг 1. Запишем условия в виде выражений.

• N = 5a + 1
• N = 3b + 2

Шаг 2. Свести к одной переменной. Из N = 5a + 1 подставим во второе условие: 5a + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5a ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2a ≡ 1 (mod 3). Обратная к 2 по модулю 3 — это 2, следовательно a ≡ 2 (mod 3). Значит a = 3t + 2, где t целое.

Подставим обратно: N = 5a + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. Итак, общая форма решений: N ≡ 11 (mod 15).

Шаг 3. Найдём подходящее N в диапазоне 31–49. Числа, которые дают N ≡ 11 (mod 15): 11, 26, 41, 56, ... Из диапазона 31–49 подходят только N = 41.

Проверка:

• 41 ÷ 5 = 8 кучек и остаток 1 — верно.
• 41 ÷ 3 = 13 кучек и остаток 2 — верно.

Ответ: у русалочки было 41 ракушка.