Каким может быть наибольшее количество точек пересечения сторон двух равных квадратов, если никакая вершина одного квадрата не лежит на стороне другого

Задача: найти наибольшее число точек пересечения сторон двух равных квадратов при условии, что никакая вершина одного квадрата не лежит на стороне другого.

Коротко: максимальное количество точек пересечения сторон равно 8. Доказательство и пример ниже.

Пошаговое решение

1. Верхняя граница (почему не больше 8)

• Рассмотрим одну сторону одного квадрата. Чтобы она пересекла другой квадрат, эта сторона может пересечь границу второго квадрата не более чем в двух точках (поскольку вторая фигура выпукла, и любая прямая может входить в неё и выходить из неё максимум через две точки).
• У каждого квадрата 4 стороны, значит максимум пересечений сторон одного квадрата со сторонaми другого не превышает 4 × 2 = 8.
• Учитывая условие, что вершины одного квадрата не лежат на сторонах другого, такие пересечения не сойдутся в одну точку (нет coincident точек), поэтому верхняя граница 8 достижима только в общем положении, без совпадений.

2. Достижимость 8

• Пример конфигурации: возьмём два равных квадрата с общим центром, один из них повернём на 45 градусов относительно другого.
• В таком положении каждая сторона вращённого квадрата пересекает границу неподвижного квадрата два раза. Итого 4 стороны × 2 пересечения = 8 точек пересечения.
• В этой конфигурации ни одна вершина одного квадрата не лежит на стороне другого (пересечения происходят в серединах сторон, а вершины квадратов находятся в других местах). Значит условие соблюдено.
• При желании можно привести конкретные координаты: возьмём второй квадрат с вершинами (±1, ±1); повернём первый квадрат на 45° так, чтобы его вершины оказались в (±√2, 0) и (0, ±√2). Тогда пересечения сторон образуют восемь точек, образующих октогональный контур пересечения.

3. Вывод

• Максимальное возможное число точек пересечения сторон двух равных квадратов при заданном условии равно 8.
• Конструкция с двумя квадратами одного размера, общим центром и поворотом одного на 45° наглядно демонстрирует достижимость этого значения.

Ответ: 8.