У русалочки было более 30 но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 шт, то осталось 2 ракушки.…
У русалочки было более 30 но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 шт, то осталось 2 ракушки. Сколько ракушек было у Русалочки
Задача: количество ракушек n такое, что 30 < n < 50, и
- при разложении по 5 остаётся 1: n ≡ 1 (мод 5),
- при разложении по 3 остаётся 2: n ≡ 2 (мод 3).
Пошаговое решение:
Введём переменную. Пусть n — количество ракушек.
Первая условие: n ≡ 1 (mod 5). Значит, n = 5k + 1 для некоторого целого k.
Вторая условие: n ≡ 2 (mod 3). Подставим n = 5k + 1: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 2k ≡ 1 (mod 3). Обратное к 2 по модулю 3 равно 2, поэтому умножаем обе части на 2: k ≡ 2 (mod 3). Значит, k = 3m + 2 для некоторого целого m.
Подставим обратно: n = 5k + 1 = 5(3m + 2) + 1 = 15m + 11.
Условие 30 < n < 50. Подставим n = 15m + 11: 30 < 15m + 11 < 50 19 < 15m < 39 19/15 < m < 39/15 1.266... < m < 2.6 Значит, целое m может быть только m = 2.
Получаем n = 15·2 + 11 = 41.
Проверка:
- 41 ÷ 5 даёт остаток 1. Ок.
- 41 ÷ 3 даёт остаток 2. Ок.
Ответ: 41 ракушка. Альтернативный способ: перечислить числа между 30 и 50, которые дают остаток 1 при делении на 5: 31, 36, 41, 46; проверить остаток при делении на 3 — только 41 имеет остаток 2.
