У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек, когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…
У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек, когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки, сколько ракушек было у русалочки?
Задача: найдём количество ракушек n, где 31 ≤ n ≤ 49, такое что
- при раскладывании по 5 остаётся 1: n ≡ 1 (mod 5);
- при раскладывании по 3 остаётся 2: n ≡ 2 (mod 3).
Пошаговое решение:
Из первого условия: n = 5k + 1, для некоторого целого k.
Подставим во второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3). 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Умножим обе части на обратное к 2 в контексте mod 3. Обратное к 2 mod 3 равно 2, поэтому k ≡ 2 (mod 3). Значит k = 3t + 2 для некоторого целого t.
Подставим обратно: n = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11.
По условию диапазона 31 ≤ n ≤ 49: 31 ≤ 15t + 11 ≤ 49. Вычтем 11: 20 ≤ 15t ≤ 38. Отсюда t может быть только t = 2 (потому что t целое):
- t = 1 даёт n = 26 (за пределами диапазона);
- t = 2 даёт n = 15·2 + 11 = 41;
- t = 3 даёт n = 56 (за пределом диапазона).
Проверка: 41 ≡ 1 (mod 5) и 41 ≡ 2 (mod 3). Всё верно.
Ответ: у русалочки было 41 ракушка.
