у Русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук,то 1 ракушка осталась , а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки…
У Русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук,то 1 ракушка осталась , а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки .Сколько ракушек было у Русалочки?
Задача на остатки. Обозначим общее число ракушек за N.
Из условия "разложила по 5 штук, осталось 1" следует: N ≡ 1 (mod 5) → N = 5k + 1 для некоторого целого k.
Из условия "разложила по 3 штуки, осталось 2" следует: N ≡ 2 (mod 3). Подставим N = 5k + 1: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Умножим обе стороны на обратное к 2 по модулю 3 (обратное 2): k ≡ 2 (mod 3).
Значит k = 3t + 2. Подставим в N: N = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 10 + 1 = 15t + 11.
Условие "более 30, но менее 50 ракушек" даёт ограничения для N: 30 < N < 50. Подставляя N = 15t + 11: 30 < 15t + 11 < 50 → 19 < 15t < 39 → t = 2 (единственное целое значение, удовлетворяющее промежутку).
Найдём N: N = 15·2 + 11 = 41.
Проверка:
- 41 ÷ 5 даёт остаток 1 (41 ≡ 1 (mod 5)).
- 41 ÷ 3 даёт остаток 2 (41 ≡ 2 (mod 3)).
Ответ: у Русалочки было 41 ракушка.
