решите тригонометрические неравенство 2sin^2x - sinx<0

Задача: 2 sin^2 x − sin x < 0

Пошаговое решение.

1. Пусть t = sin x. Тогда неравнение превращается в 2t^2 − t < 0.

2. Вынесем общий множитель: 2t^2 − t = t(2t − 1). Значит неравенство t(2t − 1) < 0.

3. По знакам произведения: распривязка на промежутки между корнями t = 0 и t = 1/2. Поскольку коэффициент при t^2 положительный, функция растёт, и неравенство меньше нуля выполняется между корнями. Следовательно: 0 < t < 1/2, то есть 0 < sin x < 1/2.

4. Теперь решим по x: sin x ∈ (0, 1/2). В интервале на окружности sin x положителен в квадрантах I и II. Значение sin x = 1/2 достигается при x = π/6 и x = 5π/6 (за период 2π).

   Следовательно, в одном периоде [0, 2π) решением будут x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, π).

5. Обобщение на все действительные x (период 2π): x ∈ (2πk, 2πk + π/6) ∪ (2πk + 5π/6, 2πk + π), где k − целое число.

Ответ: все x, принадлежащие объединению вышеуказанных интервалов для любых целых k.