24. На основаниях AD и ВС трапеции АВС D отмечены точки К и L соот-ветственно так, что АК : AD = BL : ВС = 1 : 6. Докажите, что отрезок К L делит трапецию на части, площади которых относятся как 1 : 5.

Задача: в трапеции ABCD с основаниями AD ∥ BC отмечены точки K на AD и L на BC такие, что AK:AD = BL:BC = 1:6. Доказать, что отрезок KL делит трапецию на две части с отношением площадей 1:5. Решение (пошагово, координатно): 1) Введём систему координат. - Пусть A = (0, 0), D = (6, 0). Тогда AD = 6. - Пусть BC лежит на параллельной линии y = h > 0, и B = (b, h), C = (c, h). Тогда BC = c − b. 2) Найдём координаты K и L. - Так как AK:AD = 1:6 и AD = 6, то AK = 1. Следовательно K на AD имеет координаты K = (1, 0). - BL:BC = 1:6 значит, L находится на BC на расстоянии 1/6 от B к C. Это даёт L = B + (1/6)(C − B) = (b, h) + (1/6)( (c, h) − (b, h) ) = ( (5b + c)/6, h ). 3) Вычислим площадь нижнего левого треугольника ABKL через площадь многоугольника A→B→L→K. Площадь S1 части ABLK можно найти по формуле площади многоугольника (формула Штейнера/по координатам): S1 = 1/2 | x_A y_B − y_A x_B + x_B y_L − y_B x_L + x_L y_K − y_L x_K + x_K y_A − y_K x_A |. Подстановка координат: - A = (0,0), B = (b,h), L = ( (5b+c)/6, h ), K = (1,0). Расчёт по шагам: - A→B: 0·h − 0·b = 0 - B→L: b·h − h·((5b+c)/6) = h( b − (5b+c)/6 ) = h( (b − c)/6 ) - L→K: x_L·0 − h·1 = −h - K→A: 1·0 − 0·0 = 0 Сумма = h( (b − c)/6 ) − h = −h( 1 + (c − b)/6 ). По величине площади: S1 = 1/2 · | −h( 1 + (c − b)/6 ) | = h/2 · ( 1 + (c − b)/6 ). 4) Выразим общую площадь трапеции. Общая площадь трапеции ABCD равна среднему арифметическому оснований, умноженному на высоту: S = h · (AD + BC) / 2 = h · (6 + (c − b)) / 2. 5) Сравним S1 с S. Заметим, что: S1 = h/2 · ( 1 + (c − b)/6 ) = h/2 · ( (6 + (c − b)) / 6 ) = S / 6. Значит площадь правой части S2 = S − S1 = S − S/6 = 5S/6. Следовательно отношение площадей двух частей, образованных KL, равно: S1 : S2 = (S/6) : (5S/6) = 1 : 5. 6) Вывод. Отрезок KL делит трапецию ABCD на две части площадей в отношении 1:5, независимо от конкретной формы трапеции (при заданных условиях AK:AD = 1:6 и BL:BC = 1:6). Дополнительный комментарий (упрощение и интуиция): - Это отношение получается независимо от высоты h и длин осн BC = c − b, и даже независимо от конкретной длины BC. Можно увидеть это и через аффинное преобразование: любую трапецию можно привести аффинным отображением к прямоугольнику, при этом деление отрезком KL сохраняет дробные положения по основанию (AK/AD и BL/BC равны 1/6), и отношение площадей сохраняется пропорционально общей площади трапеции. В прямоугольнике расчёт аналогичен и даёт тот же ответ 1:5.