точки a b c d не лежат в одной плоскости а точки H и М лежат на отрезках CD и BC соответственно так что MC=2 BM и DH =HC

Понял. Формулировка: в тетраэдре ABCD точки H и M лежат на ребрах CD и BC соответственно так, что DH = HC и MC = 2·BM. То есть:

• H — середина CD (DH = HC).
• M делит отрезок BC в отношении BM:MC = 1:2 (то есть BM = BC/3, MC = 2·BC/3).

Но какая именно величина нужна? Найдите, пожалуйста, что именно требуется: длину HM, уравнение прямой HM, отношение каких-либо объёмов/площадей, точку пересечения HM с каким-то ребром или плоскостью и т. п. Ниже приведу общую схематику и конкретный пример, чтобы можно было легко подставлять любые числа.

1. Общий подход (через векторную форму)

• Обозначим позиции вершин как векторы a, b, c, d для точек A, B, C, D.
• Так как H лежит на CD и DH = HC, середина отрезка CD, значит h = (c + d) / 2.
• Так как M лежит на BC и MC = 2 BM, точка M делит BC в отношении 1:2 от B к C. Формула внутриотрезочного деления: m = (2b + c) / 3.
• Вектор HM = m - h = (2b + c)/3 - (c + d)/2 = (4b - c - 3d) / 6.
• Любая требуемая характеристика HM:
  • Параметрическое уравнение прямой HM: r(t) = h + t(m - h), t ∈ R.
  • Длина HM: |HM| = |m - h| = (1/6) |4b - c - 3d|. Здесь под «|…|» понимается евклидово нормирование вектора, т.е. квадрат корень из скобок.
• Примечание: величина |HM| зависит от масштаба самого тетраэдра (размеров BC, CD и т. д.), поэтому без конкретных координат численно ответить нельзя. Но формулы выше работают для любой начальной геометрии ABCD.

2. Конкретный числовой пример (для иллюстрации) Чтобы увидеть числа, возьмём простой набор координат, не лежащих в одной плоскости, например:

• B = (0, 0, 0)
• C = (1, 0, 0)
• D = (0, 1, 0)
• A = (0, 0, 1) (этот набор образует некоипающийся тетраэдр)

Тогда:

• H — середина CD: h = (c + d)/2 = ((1,0,0) + (0,1,0)) / 2 = (0.5, 0.5, 0).
• M делит BC в отношении 1:2: m = (2b + c)/3 = (2*(0,0,0) + (1,0,0)) / 3 = (1/3, 0, 0).
• Вектор HM: hm = m - h = (1/3 - 0.5, 0 - 0.5, 0 - 0) = (-1/6, -1/2, 0).
• Длина HM: |HM| = sqrt( (-1/6)^2 + (-1/2)^2 ) = sqrt(1/36 + 1/4) = sqrt(10/36) = sqrt(10)/6 ≈ 0.527.

Замечания по этому примеру:

• В этом примере плоскость z = 0 содержит C, D, H, M, поэтому HM лежит в плоскости CD(BD?) на самом деле в плоскости CD и BC вместе взятых; AB и AD находятся вне этой плоскости, что нормально для тетраэдра.
• Любая другая конкретизация размеров (например, BC = 5, CD = 7 и т. д.) даст другое числовое значение HM, но общие формулы останутся теми же.

3. Что можно сделать дальше (если нужно)

• Найти точку пересечения HM с каким-либо ребром или с плоскостью, если задача требует.
• Найти отношение объёмов тетраэдров ABH и ABM, если это требуется по условию.
• Найти направление HM относительно других ребер или плоскостей.

Пожалуйста, скажите точнее, что именно нужно найти (например, длину HM, уравнение прямой HM, отношение объёмов, пересечения HM с какой-то плоскостью и т. д.). Я подставлю ваши конкретные данные или дам детальное решение под нужную цель.