Реши задачи

Вот решения по всем шести неравенствам. Я дал пошагово и с указанием общих периодов (k ∈ Z).

1. sin x ≥ 1/2

• На единичной окружности sin x = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6 (в пределах 0..2π).
• Значение sin x ≥ 1/2 на промежутке между ними: x ∈ [π/6, 5π/6] + 2πk.
• Общий ответ: x ∈ [π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk], k ∈ Z.

2. tan x < 1

• Функция tan имеет период π, и на базовом интервале (−π/2, π/2) она возрастает от −∞ до ∞, пересекает 1 в x = π/4.
• Поэтому решение: tan x < 1 на каждом периоде от −π/2 до π/4.
• Общий ответ: x ∈ (−π/2 + kπ, π/4 + kπ), k ∈ Z.

3. 2 sin(x − π/6) ≥ √2

• Разделим на 2: sin(x − π/6) ≥ √2/2.
• Значение sin t ≥ √2/2 происходит при t ∈ [π/4, 3π/4] + 2πk.
• Подставляем t = x − π/6: x − π/6 ∈ [π/4 + 2πk, 3π/4 + 2πk].
• Добавляем π/6: x ∈ [π/4 + π/6 + 2πk, 3π/4 + π/6 + 2πk] = [5π/12 + 2πk, 11π/12 + 2πk].
• Общий ответ: x ∈ [5π/12 + 2πk, 11π/12 + 2πk], k ∈ Z.

4. cos x ≥ 1/2

• Косинус больше или равен 1/2 в окрестности нуля: x ∈ [−π/3, π/3] + 2πk.
• Общий ответ: x ∈ [−π/3 + 2πk, π/3 + 2πk], k ∈ Z.

5. ctg x < 1

• Запишем через tan: cot x = 1/tan x.
  • Если tan x > 0, то 1/tan x < 1 означает tan x > 1.
  • Если tan x < 0, то 1/tan x < 1 выполняется автоматически (поскольку cot x будет отрицателен).
• Таким образом, решение есть две части:
  • при tan x < 0: x ∈ (π/2 + kπ, π + kπ);
  • при tan x > 0 и tan x > 1: x ∈ (π/4 + kπ, π/2 + kπ).
• Общий ответ: x ∈ (π/4 + kπ, π/2 + kπ) ∪ (π/2 + kπ, π + kπ), k ∈ Z.

6. 2 cos(x − π/3) ≥ √3

• Пусть y = x − π/3. Тогда 2 cos y ≥ √3 ⇒ cos y ≥ √3/2.
• cos y ≥ √3/2 на промежутке y ∈ [−π/6, π/6] + 2πk.
• Подставляем y: x − π/3 ∈ [−π/6 + 2πk, π/6 + 2πk].
• Значит x ∈ [π/3 − π/6 + 2πk, π/3 + π/6 + 2πk] = [π/6 + 2πk, π/2 + 2πk].
• Общий ответ: x ∈ [π/6 + 2πk, π/2 + 2πk], k ∈ Z.