Сколько прямых, заданных вершинами куба A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ , параллельны плоскости ( A 1 B 1 C 1 ) (A 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ ) ?

Цель: понять и подробно решить.

Итак, куб с вершинами A,B,C,D снизу и A1,B1,C1,D1 сверху. Плоскость (A1 B1 C1) — верхняя плоскость, параллельная нижней.

1. Условие параллельности плоскости

• Плоскость z = 0 (нижняя) и плоскость z = 1 (верхняя) обе параллельны плоскости (A1 B1 C1).
• Прямая параллельна этой плоскости тогда, когда направление прямой не имеет вертикальной (по z) компоненты. То есть обе точки-концы прямой должны иметь одинаковое z.

2. Прямые, задаваемые парами вершин, с одинаковым z

• Нижняя плоскость: пары из нижних вершин A,B,C,D. Всего выбрать 2 из 4 вершин: C(4,2) = 6 прямых. Эти 6 прямых включают 4 стороны нижнего квадрата (AB, BC, CD, DA) и 2 диагонали нижнего квадрата (AC, BD).
• Верхняя плоскость: пары из верхних вершин A1,B1,C1,D1. Тоже 6 прямых (A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 и диагонали A1C1, B1D1).

3. Итого

• Всего 6 нижних прямых + 6 верхних прямых = 12 прямых, параллельных плоскости (A1 B1 C1).

Ответ: 12.