Сколько прямых, заданных вершинами куба
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, параллельны плоскости
(
A
1
B
1
C
1
)
(A
1
B
1
C
1
)?
Цель: понять и подробно решить.
Итак, куб с вершинами A,B,C,D снизу и A1,B1,C1,D1 сверху. Плоскость (A1 B1 C1) — верхняя плоскость, параллельная нижней.
1) Условие параллельности плоскости
- Плоскость z = 0 (нижняя) и плоскость z = 1 (верхняя) обе параллельны плоскости (A1 B1 C1).
- Прямая параллельна этой плоскости тогда, когда направление прямой не имеет вертикальной (по z) компоненты. То есть обе точки-концы прямой должны иметь одинаковое z.
2) Прямые, задаваемые парами вершин, с одинаковым z
- Нижняя плоскость: пары из нижних вершин A,B,C,D. Всего выбрать 2 из 4 вершин: C(4,2) = 6 прямых.
Эти 6 прямых включают 4 стороны нижнего квадрата (AB, BC, CD, DA) и 2 диагонали нижнего квадрата (AC, BD).
- Верхняя плоскость: пары из верхних вершин A1,B1,C1,D1. Тоже 6 прямых (A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 и диагонали A1C1, B1D1).
3) Итого
- Всего 6 нижних прямых + 6 верхних прямых = 12 прямых, параллельных плоскости (A1 B1 C1).
Ответ: 12.
