Знак а-b нельзя изменить

Коротко: выражение a − b имеет фиксированный знак в зависимости от того, какие значения занимают a и b. Его знак нельзя «произвольно менять» при решении задач — нужно учитывать отношение a и b или работать через модуль (absolute value).

Что это значит и как применять на практике

1. Определение знака a − b

• Если a ≥ b, то a − b ≥ 0 (знак неотрицательный).
• Если a < b, то a − b < 0 (знак отрицательный).
• Если a = b, то a − b = 0.

2. Абсолютное значение

• |a − b| = a − b, когда a ≥ b.
• |a − b| = b − a, когда a < b. Это важно, когда в задаче встречается модуль.

3. Неравенства и умножение на (a − b)

• Если неизвестно, какого знака a − b, нельзя просто умножать или делить обе стороны на (a − b) без разбиения на случаи.
• Правило: разделяйте задачу на два случая по отношению a к b.
  • Случай 1: a ≥ b → a − b ≥ 0, выполняются те преобразования, которые сохраняют знак неотрицательности.
  • Случай 2: a < b → a − b < 0, выполняются те преобразования, которые требуют смены направления знака (или используйте |a − b| и разбейте по случаям).

Примеры решений по шагам

Пример 1. Решить неравенство 2(a − b) > 6

• Разделим на два случая.

  Случай 1: a ≥ b → a − b ≥ 0. 2(a − b) > 6 → a − b > 3 → a > b + 3. Здесь условие a ≥ b уже выполняется, и полученное неравенство гарантирует, что мы находимся в этом случае.

  Случай 2: a < b → a − b < 0. 2(a − b) > 6 → левая часть ≤ 0 (поскольку a − b < 0), поэтому такого неравенства не выполняется. Нет решений в этом случае.

• Итог: решение — a > b + 3. Оно автоматически удовлетворяет и условию a ≥ b, так что корнями будут именно такие пары.

Пример 2. Решить неравенство с абсолютным значением: |a − b| ≤ 5

• По определению модуля: −5 ≤ a − b ≤ 5.
• Перепишем относительно a: b − 5 ≤ a ≤ b + 5.
• Это решение работает без разбиения на случаи и учитывает знак a − b.

Пример 3. Условие: (a − b)² ≤ 4

• Легко: квадрат неотрицателен и ≤ 4 только тогда, когда −2 ≤ a − b ≤ 2.
• Значит: b − 2 ≤ a ≤ b + 2.

Памятка по форме “Знак a − b нельзя изменить”

• Не меняйте знак выражения a − b произвольно внутри неравенств. Если вы не знаете, какой знак у a − b, разбейте задачу на два случая (a ≥ b и a < b) и решайте отдельно.
• При работе с модулем используйте переход к неравенству без модуля: |a − b| ≤ c эквивалентно −c ≤ a − b ≤ c.
• При умножении или делении на (a − b) помните о смене направления неравенства в случае отрицательного знака.

Если хочешь, могу решить конкретную задачу из твоего задания — подставь пример значений a и b или просто пришли полный текст задачи, и я пройду её по шагам.