Задача: в правильном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра CD. Найти косинус угла между линиями BC и AE.
План решения:
- Зададим удобные координаты для правильного тетраэдра.
- Найдём координаты точки E (середина CD).
- Найдём направляющие векторы BC и AE.
- Найдём скалярное произведение векторов и их модули, затем cos угла между ними.
Шаг 1. Координаты правильного тетраэдра
Возьмём симметричное расположение вершин:
A = (1, 1, 1)
B = (1, -1, -1)
C = (-1, 1, -1)
D = (-1, -1, 1)
Проверка: расстояния между любыми двумя вершинами равны √8, поэтому тетраэдр правильный.
Шаг 2. Координаты точки E
E — середина CD. C = (-1, 1, -1), D = (-1, -1, 1).
E = ((-1)+(-1))/2, (1+(-1))/2, (-1+1)/2 = (-1, 0, 0).
Шаг 3. Направляющие векторы линий BC и AE
- BC = C - B = (-1, 1, -1) - (1, -1, -1) = (-2, 2, 0)
- AE = E - A = (-1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (-2, -1, -1)
Шаг 4. Косинус угла между BC и AE
- Скаломое произведение: BC · AE = (-2)(-2) + (2)(-1) + (0)(-1) = 4 - 2 + 0 = 2
- Модули векторов: |BC| = √((-2)^2 + 2^2 + 0^2) = √8 = 2√2
|AE| = √((-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √6
- Косинус угла θ между линиями BC и AE:
cos θ = (BC · AE) / (|BC| |AE|) = 2 / (2√2 · √6) = 2 / (2√12) = 1/√12 = 1/(2√3) = √3/6
Ответ: cos θ = 1/(2√3) = √3/6.
Приближённое значение: approx 0.2887, угол ≈ 73.2°.
