Установить интервалы знакопостоянства функции, координаты точек пересечения с осями функция y=x²/x²-1

Функция: y = x^2 / (x^2 - 1)

1. Область определения

• Denominator не равен нулю: x^2 - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1.
• Итак, область определения: R \ { -1, 1 }.
• Вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1.
• Горизонтальная асимптота: y = 1 (при больших |x|).

2. Пересечения с осями

• Пересечение с остью y (x = 0): y = 0^2 / (0^2 - 1) = 0 / (-1) = 0. Точка: (0, 0).
• Пересечение с осью x (y = 0): 0 = x^2 / (x^2 - 1). Это возможно только если числитель равен нулю, т.е. x = 0, и тогда знаменатель не равен нулю (0^2 - 1 ≠ 0). Точка пересечения: также (0, 0).
• Следовательно, единственная точка пересечения с осями: (0, 0).

3. Интервалы знакопостоянства y Пусть разберём знак функции по интервалам, разделённым критическими точками и точкой нуля числителя: x = -1, 0, 1.

• Для |x| > 1 (то есть x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)):

  • числитель x^2 > 0,
  • знаменатель x^2 - 1 > 0,
  • y > 0.

• Для -1 < x < 0 (то есть x ∈ (-1, 0)):

  • числитель x^2 > 0,
  • знаменатель x^2 - 1 < 0,
  • y < 0.

• Для 0 < x < 1 (то есть x ∈ (0, 1)):

  • числитель x^2 > 0,
  • знаменатель x^2 - 1 < 0,
  • y < 0.

• В точке x = 0 функция равна 0 (y = 0).

Итого:

• y > 0 на (-∞, -1) и (1, ∞)
• y < 0 на (-1, 0) и (0, 1)
• y = 0 только в x = 0, т.е. в точке (0, 0)

4. Резюме

• Область определения: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, ∞) без x = ±1.
• Пересечения с осями: единственная точка (0, 0).
• Интервалы знакопостоянства: положительна на (-∞, -1) и (1, ∞); отрицательна на (-1, 0) и (0, 1); ноль на x = 0.
• Дополнительно: вертикальные асимптоты x = -1 и x = 1; горизонтальная асимптота y = 1.