Установить интервалы знакопостоянства функции, координаты точек пересечения с осями функция y=x²/x²-1 изобразить на графике где - и +

Задача: y = x^2 / (x^2 - 1). Найдем интервалы знакопостоянства, координаты пересечения с осями и опишем график.

1. Область определения

• x^2 - 1 ≠ 0 → x ≠ ±1.
• Вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1.
• При больших |x| функция стремится к горизонтальной асимптоте y = 1 (y ≈ 1 + 1/x^2), т. е. график tends к 1 сверху.

2. Пересечения с осями

• Пересечение с осью x: нужно y = 0. Это возможно, когда числитель = 0 и знаменатель ≠ 0. x^2 = 0 → x = 0; знаменатель при x = 0 равен -1 ≠ 0. Значит: точка пересечения с осью x: (0, 0).
• Пересечение с осью y: подставляем x = 0, получаем y = 0 / (0 - 1) = 0. Тот же пункт: (0, 0).
• Итог: график пересекается с осями в одной точке — (0, 0).

3. Знак функции (интервалы знакопостоянства) Разделим по критическим точкам x = -1, 0, 1. Но знак зависит только от знака числителя и знаменателя:

• Числитель x^2 ≥ 0, равно нулю только при x = 0.
• Знаменатель x^2 - 1:
  • отрицателен на (-1, 1),
  • равен нулю на x = ±1 (исключаем из домена),
  • положителен на (-∞, -1) и (1, ∞).

Знаки на интервалах:

• (-∞, -1): числитель > 0, знаменатель > 0 → y > 0 (положительно).
• (-1, 0): числитель > 0, знаменатель < 0 → y < 0 (отрицательно).
• (0, 1): числитель > 0, знаменатель < 0 → y < 0 (отрицательно).
• (1, ∞): числитель > 0, знаменатель > 0 → y > 0 (положительно).

Также в x = 0 имеет y = 0, то есть пересечение с осью x.

Итого интервалы знакопостоянства:

• y > 0 на (-∞, -1) и на (1, ∞)
• y = 0 только в x = 0
• y < 0 на (-1, 0) и на (0, 1)

4. Краткая характеристика графика (чтобы "изобразить на графике где - и +")

• Две вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1.
• Горизонтальная асимптота: y = 1.
• График имеет две ветви вне интервалов (-∞, -1) и (1, ∞): в этих областях y > 0 и приближается к y = 1 при |x| → ∞; слева от -1 и справа от 1 ветви уходят к +∞ при приближении к ±1.
• В промежутке (-1, 1) график отрицателен: y < 0, при x → ±1- y → -∞, в точке x = 0 достигает y = 0 и непрерывно переходит через ось в максимальное значение 0.
• Функция этому симметрична относительно оси y (функция четная): f(-x) = f(x). Поэтому левые и правые части графика зеркально отражаются.

5. Краткие выводы для построения графика

• Отметьте вертикальные оси на x = -1 и x = 1 (асимптотны).
• Отметьте горизонтальную ось y = 1 (гориз. асимптота).
• Отметьте точку пересечения с осями: (0, 0).
• Ветки:
  • левая ветвь: x < -1, y > 0, уходит к +∞ возле x = -1 и к 1 сверху как x → -∞.
  • правая ветвь: x > 1, y > 0, уходит к +∞ возле x = 1 и к 1 сверху как x → ∞.
  • центральная ветвь на (-1, 1): y < 0, с максимумом в (0, 0) и стремится к -∞ при x → ±1.

Если нужно, могу привести таблицу значений или сделать простую схему графика в текстовом виде или нарисовать примерный эскиз.