Установить интервалы знакопостоянства функции, координаты точек пересечения с осями функция y=x²/x²-1 изобразить на графике где - и +

Задача: y = x^2 / (x^2 - 1). Найдем интервалы знакопостоянства, координаты пересечения с осями и опишем график. 1) Область определения - x^2 - 1 ≠ 0 → x ≠ ±1. - Вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1. - При больших |x| функция стремится к горизонтальной асимптоте y = 1 (y ≈ 1 + 1/x^2), т. е. график tends к 1 сверху. 2) Пересечения с осями - Пересечение с осью x: нужно y = 0. Это возможно, когда числитель = 0 и знаменатель ≠ 0. x^2 = 0 → x = 0; знаменатель при x = 0 равен -1 ≠ 0. Значит: точка пересечения с осью x: (0, 0). - Пересечение с осью y: подставляем x = 0, получаем y = 0 / (0 - 1) = 0. Тот же пункт: (0, 0). - Итог: график пересекается с осями в одной точке — (0, 0). 3) Знак функции (интервалы знакопостоянства) Разделим по критическим точкам x = -1, 0, 1. Но знак зависит только от знака числителя и знаменателя: - Числитель x^2 ≥ 0, равно нулю только при x = 0. - Знаменатель x^2 - 1: - отрицателен на (-1, 1), - равен нулю на x = ±1 (исключаем из домена), - положителен на (-∞, -1) и (1, ∞). Знаки на интервалах: - (-∞, -1): числитель > 0, знаменатель > 0 → y > 0 (положительно). - (-1, 0): числитель > 0, знаменатель < 0 → y < 0 (отрицательно). - (0, 1): числитель > 0, знаменатель < 0 → y < 0 (отрицательно). - (1, ∞): числитель > 0, знаменатель > 0 → y > 0 (положительно). Также в x = 0 имеет y = 0, то есть пересечение с осью x. Итого интервалы знакопостоянства: - y > 0 на (-∞, -1) и на (1, ∞) - y = 0 только в x = 0 - y < 0 на (-1, 0) и на (0, 1) 4) Краткая характеристика графика (чтобы "изобразить на графике где - и +") - Две вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1. - Горизонтальная асимптота: y = 1. - График имеет две ветви вне интервалов (-∞, -1) и (1, ∞): в этих областях y > 0 и приближается к y = 1 при |x| → ∞; слева от -1 и справа от 1 ветви уходят к +∞ при приближении к ±1. - В промежутке (-1, 1) график отрицателен: y < 0, при x → ±1- y → -∞, в точке x = 0 достигает y = 0 и непрерывно переходит через ось в максимальное значение 0. - Функция этому симметрична относительно оси y (функция четная): f(-x) = f(x). Поэтому левые и правые части графика зеркально отражаются. 5) Краткие выводы для построения графика - Отметьте вертикальные оси на x = -1 и x = 1 (асимптотны). - Отметьте горизонтальную ось y = 1 (гориз. асимптота). - Отметьте точку пересечения с осями: (0, 0). - Ветки: - левая ветвь: x < -1, y > 0, уходит к +∞ возле x = -1 и к 1 сверху как x → -∞. - правая ветвь: x > 1, y > 0, уходит к +∞ возле x = 1 и к 1 сверху как x → ∞. - центральная ветвь на (-1, 1): y < 0, с максимумом в (0, 0) и стремится к -∞ при x → ±1. Если нужно, могу привести таблицу значений или сделать простую схему графика в текстовом виде или нарисовать примерный эскиз.