номер 125 в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. на сторонах AB и CB отмечены соответственно точки e и f Так что AE = CF точка докажите что: а)…

Задача дана для равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, где AB = BC, BD — медиана к AC (D — середина AC). На сторонах AB и CB взяты точки E и F соответственно так, что AE = CF. Требуется доказать:

a) ΔBDE ≅ ΔBDF; b) ΔADE ≅ ΔCDF.

Решение

1. Свойство оси симметрии

• Так как ABC равнобедренный при основании AC, BD является осью симметрии треугольника: A и C образуют пару по симметрии через BD, AB и CB сопоставляются друг другу.
• Следовательно, любой точке E на AB под действием симметрии относительно BD соответствует точка E' на CB (E' — образ E). При этом BE' = BE, DE' = DE, и AE' = CE.

2. Использование условия AE = CF

• Пусть E' — образ E по симметрии относительно BD. Тогда AE' = CE.
• По условию задачи AE = CF. Следовательно CF = CE' (так как AE' = CE).
• Так как F лежит на CB и на отрезке CB существует только одна точка с фиксированной дистанцией от C, равной CE', получаем, что F совпадает с E'. Другими словами, F — точная отражённая точка E относительно BD.
• Следовательно E и F симметричны относительно BD.

3. Следствие симметрии: равенство соответствующих частей

• Так как E и F — зеркальные друг другу по BD, то BE = BF и DE = DF, а BD — общая сторона треугольников BDE и BDF.

a) Доказательство ΔBDE ≅ ΔBDF

• Используем признак равенства по трём сторонам (SSS):
  • BD = BD (общая сторона);
  • BE = BF (симметрия относительно BD);
  • DE = DF (симметрия относительно BD).
• Поэтому ΔBDE ≅ ΔBDF.

b) Доказательство ΔADE ≅ ΔCDF

• Соответствие верна по симметрии A ↔ C, E ↔ F, D ↔ D.
• Перечислим трёхпарные равенства сторон:
  • AD = DC (D — середина AC, так как BD — медиана);
  • DE = DF (из-за того же симметричного отображения E ↔ F);
  • AE = CF (дано).
• Следовательно, по признаку трёх сторон (SSS) треугольники ΔADE и ΔCDF равны.

Итого:

• а) ΔBDE ≅ ΔBDF (по симметрии относительно BD, либо по SSS);
• б) ΔADE ≅ ΔCDF (по SSS, с учётом AD = DC, DE = DF и AE = CF).