2х 2 - 32 < 0

Задача: 2x^2 - 32 < 0

Пошаговое решение:

1. Приведём выражение к более простой форме, разделив обе стороны на положительную константу 2: 2x^2 - 32 < 0 → x^2 - 16 < 0.

2. Разложим левую часть на множители: x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4). Значит неравенство равно (x - 4)(x + 4) < 0.

3. Анализируем знаки произведения. Корни у множителей: x = -4 и x = 4. Эти точки делят вещественную ось на три промежутка:

   • бесконечность до -4, -4 до 4, 4 до бесконечности.

   В каждом промежутке проверим знак произведения:

   • x < -4: оба множителя имеют разный знак → произведение положительное.
   • -4 < x < 4: один множитель положительный, другой отрицательный → произведение отрицательное.
   • x > 4: оба множителя положительны → произведение положительное.

   Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть -4 < x < 4.

4. Ответ: x ∈ (-4, 4).

Дополнительные заметки для понимания:

• Можно увидеть как x^2 - 16 < 0 эквивалентно |x| < 4.
• Проверка: подставим, например, x = 0 → 2·0^2 - 32 = -32 < 0, условие выполняется.
• График функции f(x) = 2x^2 - 32 имеет корни x = -4 и x = 4; между ними значение функции отрицательное.