X²+26y=100

Задача: x^2 + 26y = 100. Цель: понять решение. 1) Общее решение в вещественных числах - Перепишем уравнение так, чтобы выразить y через x: 26y = 100 - x^2 → y = (100 - x^2)/26. - Это парабола на плоскости с осью параллельной оси y, вершина в точке (0, 100/26 ≈ 3.846). - Примеры: - если x = 0 → y = 100/26 ≈ 3.846 - если x = ±10 → y = (100 - 100)/26 = 0, то есть точки (10, 0) и (-10, 0) - если x = ±5 → y = (100 - 25)/26 = 75/26 ≈ 2.8846 2) Что если нужны целые решения (x и y целые) Задача сводится к тому, чтобы 100 - x^2 делилось на 26: - x^2 ≡ 100 (mod 26) → x^2 ≡ 22 (mod 26). - Для целых x такая congruence выполняется, когда x ≡ 10 или x ≡ 16 (mod 26). Это две классовые арифметические прогрессии: - x = 10 + 26k - или x = 16 + 26k, где k — любое целое число - Тогда соответствующее y вычисляется как y = (100 - x^2)/26. Получаем: - При x = 10 + 26k: y = -26k^2 - 20k - При x = 16 + 26k: y = -26k^2 - 32k - 6 Примеры целых решений: - k = 0: (x, y) = (10, 0) и (16, -6) - k = 1: (x, y) = (36, -46) и (42, -64) - k = -1: (x, y) = (-16, -6) и (-10, 0) (И так далее — решений бесконечно много.) 3) Что если нужно найти x по заданному y - x^2 = 100 - 26y - Для реальных x требуется 100 - 26y ≥ 0 → y ≤ 100/26 ≈ 3.846 - Тогда x = ±√(100 - 26y), если под корнем неотрицательное число. Итог - В вещественных числах общее решение: y = (100 - x^2)/26. - В целых числах существует бесконечное семейство решений, которые можно описать двумя арифметическими прогрессиями для x: x ≡ 10 (mod 26) или x ≡ 16 (mod 26), с соответствующим y по формуле y = (100 - x^2)/26.