Геометрический смысл заключается в том, что производная в точке равна … тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке к графику функции угловому коэффициенту…

Ключевая идея: производная в точке x0 — это наклон касательной к графику функции в этой точке. Наклон касательной прямо связан с углом её наклона α к оси x: tan α = наклон касательной.

Как это записать по шагам:

• Пусть y = f(x) и касательная в точке x0 имеет наклон m. Тогда уравнение касательной: y − f(x0) = m (x − x0), где m = f′(x0).
• Геометрически угол α между касательной и положительным направлением оси x удовлетворяет: tan α = m.
• Следовательно, производная равна tan α: f′(x0) = tan α.
• Также можно сказать: производная равна угловому коэффициенту касательной, т.е. f′(x0) = m. Это эквивалентно предыдущему, потому что m = tan α.
• В терминах синуса/косинуса: tan α = sin α / cos α, поэтому f′(x0) = sin α / cos α.

Почему это именно так (коротко пояснение):

• Определение производной: f′(x0) = lim Δx→0 Δy/Δx, где Δy = f(x0+Δx) − f(x0). Это именно отношение подъёма к пробегу — наклон прямой, которая аппроксимирует график возле точки. Наклон прямой равен tan α, где α — угол её наклона к оси x.

Ответ на задачу:

• Правильная формулировка: производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в этой точке к графику функции. То же самое можно выразить как равенство угловому коэффициенту касательной. Не равны синус или косинус угла наклона в общем случае.