3.96. Решите систему уравнений графическим способом:
1) 0,5x+y=2,\\ - 2x + 5y = 10
3) 4x - 3y = 0 ,\\ 3x+2y=17;
2) 3x-4y=-4\\ 3x - 4y = 7 ;
4) 5x - 4y = 0 ,\\ 2,5x-2y=1.
Ниже подробные графические решения для каждой пары уравнений. Я сначала показываю, как можно построить график (перехваты осей, наклон), а затем даю точное решение через пересечение.
1) Уравнения:
0,5x + y = 2
-2x + 5y = 10
- Приведём к удобной форме для графика.
• 0,5x + y = 2 → x + 2y = 4 (умножили на 2)
• -2x + 5y = 10
- Пересечения по оси (для построения графика):
• Линия A: x + 2y = 4
- при y = 0: x = 4, точка (4, 0)
- при x = 0: 2y = 4 → y = 2, точка (0, 2)
• Линия B: -2x + 5y = 10
- при y = 0: -2x = 10 → x = -5, точка (-5, 0)
- при x = 0: 5y = 10 → y = 2, точка (0, 2)
- По графику обе прямые пересекаются в точке (0, 2).
- Решение алгебраически (проверка):
из x + 2y = 4 получаем x = 4 − 2y.
Подставим в -2x + 5y = 10:
-2(4 − 2y) + 5y = 10
-8 + 4y + 5y = 10
9y = 18 → y = 2
x = 4 − 2·2 = 0
Итог: x = 0, y = 2.
Ответ: (x, y) = (0, 2).
2) Уравнения:
3x − 4y = −4
3x − 4y = 7
- Обе левые части одинаковы, правые части разные. Это значит, что две прямые параллельны и не пересекаются.
- Графически обе прямые имеют одинаковый наклон:
3x − 4y = c → y = (3/4)x − c/4.
Для c = −4: y = (3/4)x + 1
Для c = 7: y = (3/4)x − 7/4
Наклон одинаковый, разные пересечения с осью y → параллельны, пересечения нет.
Ответ: несовместна (нет решения).
3) Уравнения:
4x − 3y = 0
3x + 2y = 17
- Из первого уравнения: 4x = 3y → y = (4/3)x.
- Подставим в второй:
3x + 2*(4/3)x = 17
3x + (8/3)x = 17
(9/3 + 8/3)x = 17 → (17/3)x = 17 → x = 17 · 3 / 17 = 3
y = (4/3)·3 = 4
- Проверка:
4·3 − 3·4 = 12 − 12 = 0 ✓
3·3 + 2·4 = 9 + 8 = 17 ✓
Ответ: (x, y) = (3, 4).
4) Уравнения:
5x − 4y = 0
2,5x − 2y = 1
- Из первого: 5x = 4y → y = (5/4)x.
- Подставим во второе (2,5x − 2y = 1; 2,5 = 5/2):
5/2 x − 2*(5/4)x = 1
5/2 x − (10/4)x = 1
5/2 x − 5/2 x = 1
0 = 1
Это противоречие, значит система несовместна.
- Графически наклон обеих прямых одинаков (y = (5/4)x и y = 1,25x − 0,5), поэтому они параллельны и не пересекаются.
Ответ: несовместна (нет решения).
Итог:
- Задача 1: решение x = 0, y = 2.
- Задача 2: несовместна (нет решений).
- Задача 3: решение x = 3, y = 4.
- Задача 4: несовместна (нет решений).
