3.96. Решите систему уравнений графическим способом: 1) 0,5x+y=2,\\ - 2x + 5y = 10 3) 4x - 3y = 0 ,\\ 3x+2y=17; 2) 3x-4y=-4\\ 3x - 4y = 7 ; 4) 5x - 4y = 0 ,\\ 2,5x-2y=1.
Ниже решения графическим способом, то есть через нахождение точки пересечения двух прямых. Для каждого системы сначала приведём уравнения к виду y = kx + b (наклонная форма), затем найдём точку пересечения и проверим.
- 0,5x + y = 2, -2x + 5y = 10
Приведём к явному виду для y:
- из первой: y = 2 − 0,5x
- из второй: 5y = 10 + 2x → y = 2 + (2/5)x
Найдём точку пересечения, приравняв правые части: 2 − 0,5x = 2 + (2/5)x −0,5x = (2/5)x −(1/2)x = (2/5)x умножим на 10: −5x = 4x → −9x = 0 → x = 0
Найдём y: y = 2 − 0,5·0 = 2
Ответ: (x, y) = (0, 2)
Проверка: подставим в каждое уравнение. 0,5·0 + 2 = 2 и −2·0 + 5·2 = 10, верно.
- 3x − 4y = −4, 3x − 4y = 7
Левая часть одинаковая, значит прямые параллельны. Разности правых частей: (−4) − 7 = −11 ≠ 0 → противоречие. Решение не существует.
Ответ: решений нет (прямые параллельны и не пересекаются).
- 4x − 3y = 0, 3x + 2y = 17
Из первой: 4x = 3y → y = (4/3)x
Подстановка во второе: 3x + 2·(4/3)x = 17 3x + (8/3)x = 17 (9/3 + 8/3)x = 17 → (17/3)x = 17 → x = 17 · 3 / 17 = 3
Найдём y: y = (4/3)·3 = 4
Ответ: (x, y) = (3, 4)
Проверка: 4·3 − 3·4 = 12 − 12 = 0 и 3·3 + 2·4 = 9 + 8 = 17, верно.
- 5x − 4y = 0, 2,5x − 2y = 1
Перепишем второе в дробной форме: 2,5 = 5/2, значит (5/2)x − 2y = 1
Из первого: 5x = 4y → y = (5/4)x
Подстановка во второе: (5/2)x − 2·(5/4)x = (5/2)x − (5/2)x = 0 поэтому левый член равен 0, слева 0, а справа стоит 1. Получаем 0 = 1 — противоречие.
Ответ: решений нет (прямые параллельны, но не совпадают).
Итог:
- Задача 1: решение (0, 2)
- Задача 2: нет решений
- Задача 3: решение (3, 4)
- Задача 4: нет решений
Если хотите, могу нарисовать схематические графики этих пар прямых или привести ещё альтернативные методы решения (например, метод подстановки или метод сложения) для закрепления понятия графического решения.
