Сделать график функции у= (1/2) в степени |х| +1

Вот подробное решение и объяснение графика функции y = (1/2)^{|x|} + 1.

1. Что за функция и базовые свойства

• Функция задана через модуль: y зависит от абсолютного значения |x|.
• Это значит, график симметричен относительно оси y (верхушка по оси y), то есть y(x) = y(-x).
• Область определения: все x.
• В виде двух частей можно записать как:
  • для x ≥ 0: y = (1/2)^{x} + 1
  • для x ≤ 0: y = (1/2)^{|x|} + 1 = (1/2)^{-x} + 1 = 2^{x} + 1

2. Значения в ключевых точках

• x = 0: y = (1/2)^{0} + 1 = 1 + 1 = 2
• x = 1: y = (1/2)^{1} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5
• x = 2: y = (1/2)^{2} + 1 = 0.25 + 1 = 1.25
• x = 3: y = (1/2)^{3} + 1 = 0.125 + 1 = 1.125
• Для отрицательных x график совпадает по значениям: y(-1) = 1.5, y(-2) = 1.25, и т.д.

3. Поведение графика и его характеристики

• Максимум достигается в x = 0: y_max = 2.
• При |x| увеличивается, (1/2)^{|x|} стремится к 0, поэтому y стремится к 1 сверху: lim_{|x|→∞} y = 1.
• Следовательно, диапазон значений: y ∈ (1, 2].
  • 1 не достигается (асимпота по горизонтали), 2 достигается в вершине при x = 0.
• График симметричен относительно оси y (появляется «двойной» экспоненциальный хвост, уходящий к горизонтальной линии y = 1).

4. Форма графика

• Это две ветви экспоненциальной функции, одна для x ≥ 0: y = (1/2)^{x} + 1 (убывающая; начинается от 2 в x=0 и сходится к 1 при росте x),
• другая для x ≤ 0: y = 2^{x} + 1 (возрастающая к максимуму 2 в x=0 и также сходится к 1 при уменьшении x в отрицательную сторону).
• В точке x = 0 график имеет “острый угол” (разные касательные слева и справа): слева касательная slope = ln 2, справа slope = -ln 2.

5. Как построить график по шагам

• Шаг 1: отметить точку вершины (0, 2).
• Шаг 2: для x ≥ 0 проложить ветку y = (1/2)^{x} + 1, которая быстро падает к 1.
• Шаг 3: для x ≤ 0 проложить ветку y = 2^{x} + 1, которая возрастает к 2 при приближении к 0 и также стремится к 1 при уходе в минус.
• Шаг 4: отметить горизонтальную асимптоту y = 1 (практически никогда не достигается, но к ней график сходится).
• Шаг 5: отметить, что график симметричен относительно оси y.

6. Таблица значений (для ориентира)

• x: -3 -2 -1 0 1 2 3
• y: 1.125, 1.25, 1.5, 2, 1.5, 1.25, 1.125

Итог

• Функция y = (1/2)^{|x|} + 1 — симметрична, максимум 2 в x=0, горизонтальная асимпотота y=1, без x-пересечений с осью абсцисс. График состоит из двух одинаковых по форме экспоненциальных ветвей, уходящих к линии y = 1.

Если хочешь, могу нарисовать небольшой набросок или построить точный график в любом онлайн-Plotter и прислать скриншот.