Сделать график функции у = (1/2) в степени |х| +1

Задача: график функции y = (1/2)^{|x|} + 1

Уровень: Алгебра, 10-й класс. Цель: понять.

1. Что за функция и какие свойства она имеет

• База: a = 1/2, лежит в (0,1). Функция использует абсолютное значение |x|, поэтому она симметрична относительно оси Y: y(-x) = y(x).
• Значения: при x = 0 получаем y = (1/2)^0 + 1 = 2. При росте |x| график стремится к 1, потому что (1/2)^{|x|} → 0.
• Диапазон: y ∈ (1, 2]. Т. е. график никогда не достигает y = 1, но бесконечно близко к нему.
• Односторонность по сторонам: для x ≥ 0 функция y = (1/2)^x + 1 строго убывающая; для x ≤ 0 из-за симметрии график зеркально повторяет это поведение слева направо.
• Асимптота: горизонтальная асимптота y = 1 при |x| → ∞.
• Точка пересечения с осью Y: (0, 2). Пересечения с осью X отсутствуют (y > 1 всегда).

2. Таблица значений (для построения графика)

• x = 0 -> y = 2
• x = ±1 -> y = (1/2)^1 + 1 = 1.5
• x = ±2 -> y = (1/2)^2 + 1 = 1.25
• x = ±3 -> y = (1/2)^3 + 1 ≈ 1.125
• x = ±4 -> y = (1/2)^4 + 1 ≈ 1.0625

3. Как построить график пошагово

• Шаг 1. Отметьте точку (0, 2) — максимум графика.
• Шаг 2. Отложите значения на правой половине: (1, 1.5), (2, 1.25), (3, 1.125), (4, 1.0625) и т.д.
• Шаг 3. Отразите те же точки относительно оси Y, чтобы получить левую ветвь (из-за симметрии).
• Шаг 4. Проведите плавную кривую через эти точки. Помните, график не пересекает y = 1 и приближается к этой линии по мере увеличения |x|.
• Шаг 5. Сделайте пометку: горизонтальная асимптота y = 1.

4. Особенности графика

• График имеет острый союз в точке (0, 2) из-за |х|: слева и справа он симметричен, но наклон слева положительный, а справа отрицательный.
• Поведение по высоте: максимум в вершине при x = 0 равен 2; график спускается к 1, но никогда не достигает его.
• Для визуального ориентирования можно запомнить: «центр в (0, 2), ветви расходятся к линии y = 1 по обе стороны».

Если нужно, могу привести компактную чертёжную инструкцию под конкретный лист (например, для графического редактора или калькулятора) или построить небольшую примитивную ASCII-иконку графика.