дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямой А1В и плоскостью ВВ1С1С

Цель: понять решение подробно.

Дано: куб ABCD A1B1C1D1, нижняя грань ABCD, верхняя A1B1C1D1, точка A1 над A и т.д. Нужно найти угол между прямой A1B и плоскостью BB1C1C (то есть гранью стороны BC-C1B1).

Шаг 1. Введение координат

• Пусть сторона куба равна a.
• Расположим вершины так: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A1(0,0,a), B1(a,0,a), C1(a,a,a), D1(0,a,a).

Шаг 2. Направляющий вектор прямой A1B

• Вектор направления v = B − A1 = (a,0,0) − (0,0,a) = (a, 0, −a).

Шаг 3. Нормаль к плоскости BB1C1C

• Плоскость BB1C1C — это боковая грань куба с координатной плоскостью x = a.
• Её нормаль n имеет направление вдоль оси x: n = (1, 0, 0).

Шаг 4. Угол между прямой и плоскостью

• Обозначим φ — угол между прямой и плоскостью.
• Формула: sin φ = |v · n| / (|v| |n|).
• Вычисления: v · n = (a,0,−a) · (1,0,0) = a. |v| = √(a^2 + 0 + a^2) = a√2. |n| = 1. sin φ = a / (a√2) = 1/√2.
• Значит φ = arcsin(1/√2) = 45°.

Ответ: угол между прямой A1B и плоскостью BB1C1C равен 45°. Это значение не зависит от длины стороны a.