к плоскости β проведём перпендикуляр АС, точка В лежит в плоскости β , угол САВ = 60⁰ , АВ =16 см . Найдите длину перпендикуляра АС
Дано: через точку A проведён перпендикуляр к плоскости β; точка B лежит в плоскости β; угол CAB = 60°; AB = 16 см. Нужно найти длину AC.
Шаги решения:
Так как AC ⟂ β и B лежит в β, то линия BC лежит в плоскости β. Следовательно AC ⟂ BC, то угол ∠ACB = 90°. В треугольнике ABC угол при C прямой.
Треугольник ABC является прямоугольным в точке C, у него гипотенуза AB (против угла 90°), а угол при A равен 60° (∠CAB = 60°).
Используем соотношение в прямоугольном треугольнике. По определению косинуса угла A: cos∠CAB =AC/AB. Подставляем: cos 60° = AC/ AB.
cos 60° = 1/2, AB = 16 см. Значит: AC = AB · cos 60° = 16 · 1/2 = 8 см.
Ответ: AC = 8 см.
Дополнительно можно заметить, что это также соответствует характеристикам треугольника 30°–60°–90°: угол B равен 30°, против него сторона AC — коротшая, и гипотенуза AB вдвое длиннее AC, что даёт AC = 16/2 = 8 см.
