Применить графический и аналитический методы поиска оптимальных стратегий для игры 2x2 P -3 8 3 2

Дано: игра 2x2. Матрица выигрышей для игрока-строки P (вероятности колонного игрока не влияют на знак) такая: - R1,C1: -3 - R1,C2: 8 - R2,C1: 3 - R2,C2: 2 Предположение: это нулево- суммовая игра. Тогда ставки второго игрока равны по модулю противоположным значениям: если строковый игрок получает P, колонковый — -P. Задача: найти оптимальные (смешанные) стратегии обоих игроков и стоимость игры. 1) Аналитический метод (minimax для нулевой суммы) Обозначим: - p — вероятность того, что игрок-строка выбирает R1 (иначе R2 с вероятностью 1 - p). - q — вероятность того, что игрок-колонки выбирает C1 (иначе C2 с вероятностью 1 - q). Шаг A. Найдём p, заставляющий колонного игрока быть нейтральным между C1 и C2 (т.е. колонный игрок выбирает смешанную стратегию, чтобы минимизировать выигрыши строкового игрока). Выводы для строкового игрока при выборе C1 и C2 в зависимости от p: - E_row(C1) = p*(-3) + (1 - p)*3 = 3 - 6p - E_row(C2) = p*8 + (1 - p)*2 = 2 + 6p Чтобы колонный игрок был нейтрален между C1 и C2, нужно приравнять эти значения: 3 - 6p = 2 + 6p => 1 = 12p => p = 1/12 ≈ 0.0833 Значение игры (стоимость для строкового игрока при таком p): E_row(C1) = 3 - 6*(1/12) = 3 - 0.5 = 2.5 E_row(C2) = 2 + 6*(1/12) = 2 + 0.5 = 2.5 Итак, стоимость игры v = 2.5 в пользу строкового игрока. Шаг B. Найдём q, заставляющий строкового игрока быть нейтральным между R1 и R2 (т.е. строковый игрок выбирает смешанную стратегию, чтобы минимизировать выигрыши колонного игрока). Варианты выигрышей строкового игрока в зависимости от q: - U_R1(q) = q*(-3) + (1 - q)*8 = 8 - 11q - U_R2(q) = q*3 + (1 - q)*2 = 2 + q Чтобы строковый игрок был нейтрален между R1 и R2, приравниваем: 8 - 11q = 2 + q => 6 = 12q => q = 0.5 Значение для колонного игрока при таком q совпадает с найденным v = 2.5, что согласуется с равенством. Итак, оптимальная смешанная стратегия колонного игрока: q(C1) = 0.5, q(C2) = 0.5. Итого аналитическое решение: - Строковый игрок: R1 с вероятностью p = 1/12, R2 — 11/12. - Колонный игрок: C1 с вероятностью q = 1/2, C2 — 1/2. - Стоимость игры (для строкового игрока): v = 2.5. Противник в нулевой сумме получит -2.5. 2) Графический метод Идея: для строкового игрока построить две линии зависимости его ожидаемой выгоды от выбора R1 и R2 от вероятности выбора C1 (то есть от q): - U_R1(q) = 8 - 11q - U_R2(q) = 2 + q На оси q∈[0,1] эти две прямые пересекаются в точке q*, которая оптимизирует минимальную выгоду строкового игрока (максимизирует минимум из двух вариантов). Пересечение: 8 - 11q = 2 + q ⇒ q = 0.5. Значение в точке пересечения: U_R1(0.5) = 8 - 11*0.5 = 2.5; U_R2(0.5) = 2 + 0.5 = 2.5. Это и есть величина v = 2.5. Далее для определения смешанной стратегии колонного игрока используем условие нейтрализации строкового игрока: сделаем правдоподобную точку, где строки равны между R1 и R2 при некотором p, что даёт p = 1/12, как и в аналитическом методе. То есть: - Чистая логика: сделать так, чтобы охватившая колонного игрока вероятность C1 приводила к равным выигрышам R1 и R2 — получаем q = 0.5 для колонки. Это подтверждает найденную ранее стоимость и смешанные стратегии. Итог графического метода: - График двух линий U_R1(q) и U_R2(q) сходится при q = 0.5, что даёт цену v = 2.5. - Далее из равенства выгод линий R1 и R2 при некотором p получаем p = 1/12 для строки, то есть оптимальная стратегия строки — R1 с вероятностью 1/12, R2 — 11/12. - Оптимальная стратегия колонного игрока — C1 и C2 по 0.5. Краткий ответ (итоги): - Оптимальные стратегии: игрок-строка: (R1, R2) = (1/12, 11/12); игрок-колонка: (C1, C2) = (1/2, 1/2). - Стоимость игры: 2.5 в пользу строкового игрока; колонковый игрок получает -2.5. - Наличие чистых стратегий у равновесия отсутствует (нет чистого НЭ). Если хочешь, могу привести дополнительные иллюстративные графики или рассмотреть аналогичное решение для другого набора чисел в матрице. Также могу объяснить, как проверить корректность через решение уравнений предпочтений BR (best response) каждого игрока.