В равнобедренной трапеции ABCD провели высоту BH, которая делит основание трапеции AD в отношении m:n, считая от вершины A. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная…

Дано: равнобедренная трапеция ABCD, основания AD и BC параллельны. Через вершину B проведена высота BH к основанию AD. AH:HD = m:n (считая от вершины A). Нужно найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри трапеции принадлежит трапеции HBCD.

Обозначим:

• AD = a, BC = b — длины оснований;
• высота трапеции h = BH;
• AH = по условию AH = a · m/(m+n).

Площадь трапеции ABCD: S = (a + b)/2 · h.

Площадь треугольника ABH (мелкая часть, отделяемая высотой BH): S_ABH = (1/2) · AH · h = (1/2) · a · m/(m+n) · h.

Тогда площадь трапеции HBCD: S_HBCD = S − S_ABH = (a + b)/2 · h − (1/2) · a · m/(m+n) · h.

Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит HBCD, равна отношению площадей: P = S_HBCD / S = [ (a + b)/2 · h − (1/2) · a · m/(m+n) · h ] / [ (a + b)/2 · h ].

Упрощаем: P = [ a + b − a m/(m+n) ] / (a + b) = 1 − [ a m / (m+n) ] / (a + b) = [ b(m+n) + a n ] / [ (a + b)(m+n) ].

Итак, ответ:

• По параметрам a = AD, b = BC, m, n: P = [ BC(m+n) + AD·n ] / [ (AD + BC)(m+n) ].
• Эквивалентно: P = 1 − [ AD · m ] / [ (m+n)(AD + BC) ] или P = [ BC + AD · n/(m+n) ] / (AD + BC).

Пример: если трапеция представляет собой прямоугольник (AD = BC), то P = (m + 2n) / (2(m + n)).