Скорость движения материальной точки задаётся формулой V(x)=4t^3-2t+1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 4 с от начала движения.

Задача: скорость движения задана как v(t) = 4t^3 − 2t + 1 м/с. Найти пройденный путь за первые 4 с от начала движения.

Разбор по шагам

1. Принятие функции скорости

• Пусть v(t) = 4t^3 − 2t + 1 (м/с), где t — время в секундах.
• Замечание: в формулировке было написано V(x); здесь трактуем как v(t), так как скорость зависит от времени.

2. Связь пути и скорости

• Путь s(t) от начала движения задаётся интегралом скорости: s(t) = ∫ v(τ) dτ от начала до времени t.
• Так как нужно пройденный путь за первые 4 с, нам нужно s(4) − s(0). Обычно принимают s(0) = 0, если старт отсчитывается от начала пути.

3. Найдём интеграл скорости

• Интегрируем v(t): ∫ (4t^3 − 2t + 1) dt = ∫ 4t^3 dt − ∫ 2t dt + ∫ 1 dt = t^4 − t^2 + t + C.
• Значит обобщённая функция пути: s(t) = t^4 − t^2 + t + C.

4. Применим начальные условия

• При t = 0 путь должен быть нулевым: s(0) = 0.
• Подставим: 0^4 − 0^2 + 0 + C = 0 ⇒ C = 0.
• Получаем окончательное выражение: s(t) = t^4 − t^2 + t.

5. Найдём путь за 4 секунды

• Путь за первые 4 секунды: s(4) = 4^4 − 4^2 + 4 = 256 − 16 + 4 = 244 метров.

6. Примечание по знаку скорости

• На интервале t ∈ [0, 4] скорость v(t) положительна (например, минимальное значение достигается около t ≈ 0.4 и остаётся положительным), поэтому пройденный путь равен именно изменению положения (displacement). В любом случае, для положительной скорости путь и displacement совпадают.

Ответ: пройденный путь за первые 4 секунды равен 244 метров.