Скорость движения материальной точки задаётся формулой V(x)=4t^3-2t+1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 4 с от начала движения.

Задача: скорость движения задана как v(t) = 4t^3 − 2t + 1 м/с. Найти пройденный путь за первые 4 с от начала движения. Разбор по шагам 1) Принятие функции скорости - Пусть v(t) = 4t^3 − 2t + 1 (м/с), где t — время в секундах. - Замечание: в формулировке было написано V(x); здесь трактуем как v(t), так как скорость зависит от времени. 2) Связь пути и скорости - Путь s(t) от начала движения задаётся интегралом скорости: s(t) = ∫ v(τ) dτ от начала до времени t. - Так как нужно пройденный путь за первые 4 с, нам нужно s(4) − s(0). Обычно принимают s(0) = 0, если старт отсчитывается от начала пути. 3) Найдём интеграл скорости - Интегрируем v(t): ∫ (4t^3 − 2t + 1) dt = ∫ 4t^3 dt − ∫ 2t dt + ∫ 1 dt = t^4 − t^2 + t + C. - Значит обобщённая функция пути: s(t) = t^4 − t^2 + t + C. 4) Применим начальные условия - При t = 0 путь должен быть нулевым: s(0) = 0. - Подставим: 0^4 − 0^2 + 0 + C = 0 ⇒ C = 0. - Получаем окончательное выражение: s(t) = t^4 − t^2 + t. 5) Найдём путь за 4 секунды - Путь за первые 4 секунды: s(4) = 4^4 − 4^2 + 4 = 256 − 16 + 4 = 244 метров. 6) Примечание по знаку скорости - На интервале t ∈ [0, 4] скорость v(t) положительна (например, минимальное значение достигается около t ≈ 0.4 и остаётся положительным), поэтому пройденный путь равен именно изменению положения (displacement). В любом случае, для положительной скорости путь и displacement совпадают. Ответ: пройденный путь за первые 4 секунды равен 244 метров.